Номер 0.20, страница 6 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.20. Постройте график уравнения:

1) $y + |x| = 3;$

2) $x^2 - 8x - y + 13 = 0;$

3) $y(x - 2) = 3.$

1) $y + |x| = 3$

Для построения графика преобразуем данное уравнение, выразив переменную $y$: $y = 3 - |x|$. Это функция, содержащая модуль. Чтобы раскрыть модуль, рассмотрим два случая:

1. Когда $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид $y = 3 - x$. Графиком этой функции является прямая линия. Для ее построения достаточно двух точек, например, $(0, 3)$ и $(3, 0)$. Поскольку мы рассматриваем случай $x \ge 0$, от этой прямой мы берем только луч, начинающийся в точке $(0, 3)$ и проходящий через точку $(3, 0)$.

2. Когда $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид $y = 3 - (-x)$, что равносильно $y = 3 + x$. Это также прямая линия. Возьмем две точки, например, $(0, 3)$ и $(-3, 0)$. В этом случае мы берем луч, начинающийся в точке $(0, 3)$ и проходящий через точку $(-3, 0)$ для $x < 0$.

Объединяя оба случая, получаем график, состоящий из двух лучей, выходящих из общей точки $(0, 3)$.

Ответ: График уравнения $y + |x| = 3$ представляет собой два луча, выходящих из точки $(0, 3)$ и проходящих через точки $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

2) $x^2 - 8x - y + 13 = 0$

Выразим $y$ из уравнения, чтобы получить явный вид функции: $y = x^2 - 8x + 13$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Для построения параболы найдем координаты ее вершины и направление ветвей.

Координата $x_0$ вершины параболы вида $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -b/(2a)$. В нашем случае $a=1$, $b=-8$, $c=13$. $x_0 = -(-8) / (2 \cdot 1) = 8 / 2 = 4$.

Для нахождения координаты $y_0$ подставим $x_0=4$ в уравнение параболы: $y_0 = 4^2 - 8(4) + 13 = 16 - 32 + 13 = -3$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(4, -3)$.

Поскольку коэффициент при $x^2$ ($a=1$) положителен, ветви параболы направлены вверх. Найдем точку пересечения с осью OY, подставив $x=0$: $y = 0^2 - 8(0) + 13 = 13$. Точка пересечения с осью OY — $(0, 13)$. Построим график по найденным точкам (вершина, точка пересечения с OY и симметричная ей точка).

Ответ: График уравнения $x^2 - 8x - y + 13 = 0$ является параболой с вершиной в точке $(4, -3)$ и ветвями, направленными вверх.

3) $y(x - 2) = 3$

Выразим $y$ через $x$: $y = \frac{3}{x-2}$. Это уравнение задает гиперболу. Данная функция является смещенной и растянутой версией базовой гиперболы $y = 1/x$.

Найдем асимптоты графика: 1. Вертикальная асимптота: функция не определена, когда знаменатель равен нулю. $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$. Прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой. 2. Горизонтальная асимптота: найдем предел функции при $x \to \pm\infty$. $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3}{x-2} = 0$. Прямая $y=0$ (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой.

График состоит из двух ветвей, расположенных в первой и третьей четвертях относительно системы координат, образованной асимптотами. Найдем несколько точек для построения:

• При $x = 3, y = \frac{3}{3-2} = 3$. Точка $(3, 3)$.
• При $x = 5, y = \frac{3}{5-2} = 1$. Точка $(5, 1)$.
• При $x = 1, y = \frac{3}{1-2} = -3$. Точка $(1, -3)$.
• При $x = 0, y = \frac{3}{0-2} = -1.5$. Точка $(0, -1.5)$.

Ответ: График уравнения $y(x-2)=3$ — это гипербола с вертикальной асимптотой $x=2$ и горизонтальной асимптотой $y=0$.