Номер 0.17, страница 5 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.17. Дана геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Напишите общий член и первые 5 членов этой прогрессии. Найдите сумму первых 5 членов при:

1) $b_1 = 4, q = 2$;

2) $b_1 = 16, q = -0.5$.

1) При $b_1 = 4$ и $q = 2$.

Формула общего члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим данные значения: $b_n = 4 \cdot 2^{n-1}$. Эту формулу можно упростить: $b_n = 2^2 \cdot 2^{n-1} = 2^{2 + n - 1} = 2^{n+1}$.

Найдем первые 5 членов прогрессии, последовательно умножая предыдущий член на знаменатель $q=2$:

$b_1 = 4$

$b_2 = b_1 \cdot q = 4 \cdot 2 = 8$

$b_3 = b_2 \cdot q = 8 \cdot 2 = 16$

$b_4 = b_3 \cdot q = 16 \cdot 2 = 32$

$b_5 = b_4 \cdot q = 32 \cdot 2 = 64$

Таким образом, первые 5 членов прогрессии: 4, 8, 16, 32, 64.

Для нахождения суммы первых 5 членов используем формулу суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:

$S_5 = \frac{4(2^5 - 1)}{2 - 1} = \frac{4(32 - 1)}{1} = 4 \cdot 31 = 124$.

Ответ: общий член $b_n = 2^{n+1}$; первые 5 членов: 4, 8, 16, 32, 64; сумма первых 5 членов $S_5 = 124$.

2) При $b_1 = 16$ и $q = -0,5$.

Формула общего члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим данные значения: $b_n = 16 \cdot (-0,5)^{n-1}$.

Найдем первые 5 членов прогрессии, последовательно умножая предыдущий член на знаменатель $q = -0,5$:

$b_1 = 16$

$b_2 = b_1 \cdot q = 16 \cdot (-0,5) = -8$

$b_3 = b_2 \cdot q = -8 \cdot (-0,5) = 4$

$b_4 = b_3 \cdot q = 4 \cdot (-0,5) = -2$

$b_5 = b_4 \cdot q = -2 \cdot (-0,5) = 1$

Таким образом, первые 5 членов прогрессии: 16, -8, 4, -2, 1.

Для нахождения суммы первых 5 членов используем формулу суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:

$S_5 = \frac{16((-0,5)^5 - 1)}{-0,5 - 1} = \frac{16(-0,03125 - 1)}{-1,5} = \frac{16(-1,03125)}{-1,5} = \frac{-16,5}{-1,5} = 11$.

Или, представив в виде обыкновенных дробей:

$S_5 = \frac{16((-\frac{1}{2})^5 - 1)}{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{16(-\frac{1}{32} - 1)}{-\frac{3}{2}} = \frac{16(-\frac{33}{32})}{-\frac{3}{2}} = \frac{-\frac{16 \cdot 33}{32}}{-\frac{3}{2}} = \frac{-\frac{33}{2}}{-\frac{3}{2}} = 11$.

Ответ: общий член $b_n = 16 \cdot (-0,5)^{n-1}$; первые 5 членов: 16, -8, 4, -2, 1; сумма первых 5 членов $S_5 = 11$.