Номер 0.26, страница 6 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.26. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \operatorname{ctg}^2 \alpha}$;

2) $\sin^2 (\pi + \alpha) + \sin^2 \left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)$;

3) $\left(\sin(\pi + \alpha) - \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)\right)^2 + \left(\cos(2\pi - \alpha) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\right)^2$.

1) Для упрощения данного выражения представим тангенс и котангенс через синус и косинус, используя определения: $\tg^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$ и $\ctg^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$.

Преобразуем числитель дроби:$\sin^2 \alpha - \tg^2 \alpha = \sin^2 \alpha - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \sin^2 \alpha \left(1 - \frac{1}{\cos^2 \alpha}\right) = \sin^2 \alpha \left(\frac{\cos^2 \alpha - 1}{\cos^2 \alpha}\right)$.Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, из которого следует, что $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$, получаем:$\sin^2 \alpha \left(\frac{-\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}\right) = -\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha}$.

Преобразуем знаменатель дроби:$\cos^2 \alpha - \ctg^2 \alpha = \cos^2 \alpha - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \cos^2 \alpha \left(1 - \frac{1}{\sin^2 \alpha}\right) = \cos^2 \alpha \left(\frac{\sin^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha}\right)$.Из основного тождества следует, что $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$. Тогда:$\cos^2 \alpha \left(\frac{-\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\right) = -\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}$.

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:$\frac{\sin^2 \alpha - \tg^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \ctg^2 \alpha} = \frac{-\frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{-\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}} = \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^4 \alpha} = \frac{\sin^6 \alpha}{\cos^6 \alpha} = \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^6 = \tg^6 \alpha$.

Ответ: $\tg^6 \alpha$

2) Используем формулы приведения для упрощения каждого слагаемого.

Для первого слагаемого: $\sin(\pi + \alpha)$. Угол $(\pi + \alpha)$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен. Так как мы прибавляем $\pi$, название функции не меняется. Таким образом, $\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha$. Тогда $\sin^2(\pi + \alpha) = (-\sin \alpha)^2 = \sin^2 \alpha$.

Для второго слагаемого: $\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$. Угол $(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$ находится в четвертой четверти, где синус отрицателен. Так как мы прибавляем $\frac{3\pi}{2}$, название функции меняется на кофункцию (синус на косинус). Таким образом, $\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos \alpha$. Тогда $\sin^2(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = (-\cos \alpha)^2 = \cos^2 \alpha$.

Подставим упрощенные выражения в исходное:$\sin^2(\pi + \alpha) + \sin^2(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$.

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Ответ: $1$

3) Упростим выражение по частям, используя формулы приведения для каждого тригонометрического члена.

Сначала упростим выражение в первой скобке:$\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha$$\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos \alpha$ (третья четверть, синус отрицателен, функция меняется на кофункцию).Тогда выражение в первой скобке равно: $(\sin(\pi + \alpha) - \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha))^2 = (-\sin \alpha - (-\cos \alpha))^2 = (\cos \alpha - \sin \alpha)^2$.

Теперь упростим выражение во второй скобке:$\cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha$ (четвертая четверть, косинус положителен, функция не меняется).$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$ (первая четверть, косинус положителен, функция меняется на кофункцию).Тогда выражение во второй скобке равно: $(\cos(2\pi - \alpha) + \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha))^2 = (\cos \alpha + \sin \alpha)^2$.

Исходное выражение принимает вид:$(\cos \alpha - \sin \alpha)^2 + (\cos \alpha + \sin \alpha)^2$.

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения (квадрат разности и квадрат суммы):$(\cos^2 \alpha - 2\cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \alpha + 2\cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha)$.

Приведем подобные слагаемые:$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha - 2\cos \alpha \sin \alpha + 2\cos \alpha \sin \alpha$.Слагаемые $- 2\cos \alpha \sin \alpha$ и $+ 2\cos \alpha \sin \alpha$ взаимно уничтожаются.

Группируем оставшиеся члены и применяем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:$(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: $2$