Номер 0.33, страница 7 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.33. Дана геометрическая прогрессия ${b_n}$:

1) $3, 3^2, 3^3, \dots$;

2) $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots$

Найдите знаменатель, общий член и сумму первых 5 членов этой прогрессии.

1) Дана геометрическая прогрессия $3, 3^2, 3^3, \dots$

Это геометрическая прогрессия $\{b_n\}$, где первый член $b_1 = 3$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, который равен отношению любого члена прогрессии к предыдущему. Возьмем второй и первый члены:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{3^2}{3} = \frac{9}{3} = 3$.

Общий член геометрической прогрессии $b_n$ находится по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Подставим известные значения $b_1=3$ и $q=3$:

$b_n = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^1 \cdot 3^{n-1} = 3^{1+n-1} = 3^n$.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n$ вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$.

Найдем сумму первых 5 членов, то есть $S_5$ (при $n=5$):

$S_5 = \frac{3(3^5-1)}{3-1} = \frac{3(243-1)}{2} = \frac{3 \cdot 242}{2} = 3 \cdot 121 = 363$.

Ответ: знаменатель $q=3$, общий член $b_n = 3^n$, сумма первых 5 членов $S_5 = 363$.

2) Дана геометрическая прогрессия $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots$

Это геометрическая прогрессия $\{b_n\}$, где первый член $b_1 = \frac{1}{2}$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Общий член геометрической прогрессии $b_n$ находится по формуле $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Подставим известные значения $b_1=\frac{1}{2}$ и $q=\frac{1}{2}$:

$b_n = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{1+n-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n$ вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ (эта форма записи удобна, когда $|q|<1$).

Найдем сумму первых 5 членов, то есть $S_5$ (при $n=5$):

$S_5 = \frac{\frac{1}{2}\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^5\right)}{1-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{32}\right)}{\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{32} = \frac{32}{32} - \frac{1}{32} = \frac{31}{32}$.

Ответ: знаменатель $q=\frac{1}{2}$, общий член $b_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n$, сумма первых 5 членов $S_5 = \frac{31}{32}$.