Номер 0.40, страница 8 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.40. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} \frac{x^2 - 12x + 35}{2x^2 + x - 3} \ge 0, \\ |x - 3| \le 5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{x + 7}{x - 5} + \frac{3x + 1}{2} \ge 0, \\ |x - 5| \le 2. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{x^2 - 12x + 35}{2x^2 + x - 3} \ge 0, \\ |x - 3| \le 5 \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство: $\frac{x^2 - 12x + 35}{2x^2 + x - 3} \ge 0$.

Для этого найдем корни числителя и знаменателя.
Корни числителя $x^2 - 12x + 35 = 0$. По теореме Виета, произведение корней равно 35, а их сумма равна 12. Следовательно, корни $x_1 = 5$ и $x_2 = 7$.
Корни знаменателя $2x^2 + x - 3 = 0$. Найдем их через дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$. Корни $x_3 = \frac{-1 - 5}{4} = -1.5$ и $x_4 = \frac{-1 + 5}{4} = 1$.

Теперь неравенство можно переписать в виде: $\frac{(x-5)(x-7)}{2(x+1.5)(x-1)} \ge 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси корни числителя (закрашенные точки, так как неравенство нестрогое) и корни знаменателя (выколотые точки, так как на ноль делить нельзя).
Точки: -1.5, 1, 5, 7.

Выбираем интервалы со знаком "+", так как неравенство $\ge 0$.
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -1.5) \cup (1, 5] \cup [7, \infty)$.

Теперь решим второе неравенство: $|x - 3| \le 5$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству: $-5 \le x - 3 \le 5$.
Прибавим 3 ко всем частям: $-5 + 3 \le x \le 5 + 3$, что дает $-2 \le x \le 8$.
Решение второго неравенства: $x \in [-2, 8]$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $((-\infty, -1.5) \cup (1, 5] \cup [7, \infty)) \cap [-2, 8]$.

Области, где штриховки пересекаются, и являются решением системы.
Ответ: $x \in [-2, -1.5) \cup (1, 5] \cup [7, 8]$.

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{x+7}{x-5} + \frac{3x+1}{2} \ge 0, \\ |x - 5| \le 2 \end{cases} $

Начнем с более простого второго неравенства: $|x - 5| \le 2$.

Оно равносильно двойному неравенству: $-2 \le x - 5 \le 2$.
Прибавив 5 ко всем частям, получаем $3 \le x \le 7$.
Решение второго неравенства: $x \in [3, 7]$.

Теперь решим первое неравенство: $\frac{x+7}{x-5} + \frac{3x+1}{2} \ge 0$.
Приведем левую часть к общему знаменателю $2(x-5)$:
$\frac{2(x+7) + (3x+1)(x-5)}{2(x-5)} \ge 0$
$\frac{2x+14 + 3x^2 - 15x + x - 5}{2(x-5)} \ge 0$
$\frac{3x^2 - 12x + 9}{2(x-5)} \ge 0$
Разделим числитель на 3, что не изменит знака неравенства:
$\frac{x^2 - 4x + 3}{x-5} \ge 0$

Найдем корни числителя: $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1=1, x_2=3$.
Корень знаменателя: $x_3=5$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x-1)(x-3)}{x-5} \ge 0$.
Решаем методом интервалов. Точки 1 и 3 — закрашенные, точка 5 — выколотая.

Решение первого неравенства: $x \in [1, 3] \cup (5, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $([1, 3] \cup (5, \infty)) \cap [3, 7]$.

Пересечение множеств состоит из точки $x=3$ (где пересекаются отрезки $[1,3]$ и $[3,7]$) и интервала $(5, 7]$ (где пересекаются $(5, \infty)$ и $[3,7]$).
Ответ: $x \in \{3\} \cup (5, 7]$.