Номер 0.42, страница 8 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.42. Может ли выполняться равенство:

1) $2\sin x + \cos x = 3$;

2) $5 \sin x - 3\cos x = 8?$

1) 2sin x + cos x = 3;
Для решения этой задачи воспользуемся свойством функции вида $y = a \sin x + b \cos x$. Областью значений такой функции является отрезок $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$. Это означает, что для любого значения $x$ выполняется неравенство $-\sqrt{a^2 + b^2} \le a \sin x + b \cos x \le \sqrt{a^2 + b^2}$.
В нашем случае левая часть равенства представляет собой выражение $2\sin x + \cos x$. Здесь коэффициенты $a = 2$ и $b = 1$.
Найдем максимальное и минимальное значения этого выражения:
$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.
Таким образом, область значений функции $y = 2\sin x + \cos x$ есть отрезок $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$. Это значит, что для любого $x$ выполняется двойное неравенство:
$-\sqrt{5} \le 2\sin x + \cos x \le \sqrt{5}$.
В задаче требуется проверить, может ли это выражение равняться $3$. Для этого сравним $3$ с $\sqrt{5}$.
Так как $3^2 = 9$ и $(\sqrt{5})^2 = 5$, а $9 > 5$, то $3 > \sqrt{5}$.
Поскольку число $3$ больше, чем максимальное возможное значение выражения $2\sin x + \cos x$ (которое равно $\sqrt{5}$), данное равенство не может выполняться ни при каком значении $x$.
Ответ: нет.

2) 5 sin x - 3cos x = 8?
Мы применим тот же метод, что и в предыдущем пункте. Рассмотрим левую часть равенства, $5 \sin x - 3\cos x$.
Это выражение вида $a \sin x + b \cos x$, где $a = 5$ и $b = -3$.
Найдем область значений этого выражения, которая определяется отрезком $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$.
Вычислим значение $\sqrt{a^2 + b^2}$:
$\sqrt{5^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$.
Следовательно, область значений функции $y = 5 \sin x - 3\cos x$ есть отрезок $[-\sqrt{34}, \sqrt{34}]$. Для любого значения $x$ справедливо неравенство:
$-\sqrt{34} \le 5 \sin x - 3\cos x \le \sqrt{34}$.
Нам нужно выяснить, может ли это выражение быть равным $8$. Сравним $8$ и $\sqrt{34}$.
Возведем оба числа в квадрат: $8^2 = 64$ и $(\sqrt{34})^2 = 34$.
Так как $64 > 34$, то $8 > \sqrt{34}$.
Значение $8$ превышает максимальное возможное значение выражения $5 \sin x - 3\cos x$ (которое равно $\sqrt{34}$), поэтому данное равенство не может выполняться.
Ответ: нет.