Номер 0.37, страница 8 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.37. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x + y + xy = -1, \\ x^2 + y^2 + xy = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{3x - 9y}{x + y} + \frac{2x + y}{x - y} = 4, \\ x^2 - y^2 = 48; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^3 - y^3 = 8, \\ x - y = 2. \end{cases}$

1) Исходная система уравнений: $ \begin{cases} x + y + xy = -1, \\ x^2 + y^2 + xy = 3; \end{cases} $
Это симметрическая система. Сделаем замену переменных. Пусть $u = x+y$ и $v = xy$.
Выразим $x^2 + y^2$ через $u$ и $v$: $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.
Подставим новые переменные в исходную систему:
$ \begin{cases} u + v = -1, \\ (u^2 - 2v) + v = 3; \end{cases} $
Упростим второе уравнение:
$ \begin{cases} u + v = -1, \\ u^2 - v = 3; \end{cases} $
Сложим два уравнения системы:
$(u+v) + (u^2-v) = -1+3$
$u^2 + u = 2$
$u^2 + u - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $u$. По теореме Виета, корни $u_1 = 1$ и $u_2 = -2$.
Теперь найдем соответствующие значения $v$ для каждого значения $u$ из уравнения $v = -1 - u$.

Случай 1: $u = 1$.
$v = -1 - 1 = -2$.
Возвращаемся к исходным переменным:
$ \begin{cases} x+y = 1, \\ xy = -2; \end{cases} $
По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - t - 2 = 0$.
Корни этого уравнения: $t_1 = 2, t_2 = -1$.
Следовательно, получаем две пары решений: $(2, -1)$ и $(-1, 2)$.

Случай 2: $u = -2$.
$v = -1 - (-2) = 1$.
Возвращаемся к исходным переменным:
$ \begin{cases} x+y = -2, \\ xy = 1; \end{cases} $
$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-2)t + 1 = 0$, то есть $t^2 + 2t + 1 = 0$.
Это уравнение имеет один корень (кратности 2): $(t+1)^2=0$, откуда $t = -1$.
Следовательно, $x = y = -1$. Получаем решение $(-1, -1)$.

Ответ: $(-1, -1), (2, -1), (-1, 2)$.

2) Исходная система уравнений: $ \begin{cases} \frac{3x - 9y}{x + y} + \frac{2x + y}{x - y} = 4, \\ x^2 - y^2 = 48; \end{cases} $
Заметим, что $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$. Из второго уравнения следует, что $x^2 - y^2 \neq 0$, а значит $x+y \neq 0$ и $x-y \neq 0$.
Приведем левую часть первого уравнения к общему знаменателю $(x+y)(x-y)$:
$\frac{(3x - 9y)(x - y) + (2x + y)(x + y)}{(x+y)(x-y)} = 4$
Подставим значение знаменателя из второго уравнения:
$\frac{(3x - 9y)(x - y) + (2x + y)(x + y)}{48} = 4$
$(3x - 9y)(x - y) + (2x + y)(x + y) = 4 \cdot 48 = 192$
Раскроем скобки и упростим:
$(3x^2 - 3xy - 9xy + 9y^2) + (2x^2 + 2xy + xy + y^2) = 192$
$(3x^2 - 12xy + 9y^2) + (2x^2 + 3xy + y^2) = 192$
$5x^2 - 9xy + 10y^2 = 192$
Теперь решаем систему:
$ \begin{cases} 5x^2 - 9xy + 10y^2 = 192, \\ x^2 - y^2 = 48; \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $x^2 = 48 + y^2$ и подставим в первое:
$5(48 + y^2) - 9xy + 10y^2 = 192$
$240 + 5y^2 - 9xy + 10y^2 = 192$
$15y^2 - 9xy + 48 = 0$
Разделим на 3:
$5y^2 - 3xy + 16 = 0$
Выразим $x$ (при $y \neq 0$, что очевидно, иначе $16=0$):
$3xy = 5y^2 + 16 \implies x = \frac{5y^2+16}{3y}$
Подставим это выражение для $x$ в уравнение $x^2 - y^2 = 48$:
$(\frac{5y^2+16}{3y})^2 - y^2 = 48$
$\frac{25y^4 + 160y^2 + 256}{9y^2} - y^2 = 48$
$25y^4 + 160y^2 + 256 - 9y^4 = 48 \cdot 9y^2 = 432y^2$
$16y^4 - 272y^2 + 256 = 0$
Разделим на 16:
$y^4 - 17y^2 + 16 = 0$
Это биквадратное уравнение. Пусть $z = y^2$, $z > 0$:
$z^2 - 17z + 16 = 0$
Корни по теореме Виета: $z_1 = 16, z_2 = 1$.
Следовательно, $y^2 = 16$ или $y^2 = 1$.

Случай 1: $y^2 = 16 \implies y = \pm 4$.
Из $x^2 = 48 + y^2$ получаем $x^2 = 48 + 16 = 64 \implies x = \pm 8$.
Проверим пары по уравнению связи $3xy = 5y^2 + 16$.
Если $y=4$, то $3x(4) = 5(16)+16 \implies 12x = 96 \implies x=8$. Решение $(8, 4)$.
Если $y=-4$, то $3x(-4) = 5(16)+16 \implies -12x = 96 \implies x=-8$. Решение $(-8, -4)$.

Случай 2: $y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.
Из $x^2 = 48 + y^2$ получаем $x^2 = 48 + 1 = 49 \implies x = \pm 7$.
Проверим пары по уравнению связи $3xy = 5y^2 + 16$.
Если $y=1$, то $3x(1) = 5(1)+16 \implies 3x = 21 \implies x=7$. Решение $(7, 1)$.
Если $y=-1$, то $3x(-1) = 5(1)+16 \implies -3x = 21 \implies x=-7$. Решение $(-7, -1)$.

Ответ: $(8, 4), (-8, -4), (7, 1), (-7, -1)$.

3) Исходная система уравнений: $ \begin{cases} x^3 - y^3 = 8, \\ x - y = 2; \end{cases} $
Воспользуемся формулой разности кубов для первого уравнения: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.
Подставим в нее значения из системы:
$8 = 2 \cdot (x^2+xy+y^2)$
$x^2+xy+y^2 = 4$
Теперь решаем новую, более простую систему:
$ \begin{cases} x - y = 2, \\ x^2+xy+y^2 = 4; \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $x = y+2$ и подставим во второе:
$(y+2)^2 + (y+2)y + y^2 = 4$
$(y^2 + 4y + 4) + (y^2 + 2y) + y^2 = 4$
$3y^2 + 6y + 4 = 4$
$3y^2 + 6y = 0$
$3y(y+2) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y_1=0$ или $y_2=-2$.

Случай 1: $y = 0$.
Тогда $x = y+2 = 0+2 = 2$. Получаем решение $(2, 0)$.

Случай 2: $y = -2$.
Тогда $x = y+2 = -2+2 = 0$. Получаем решение $(0, -2)$.

Ответ: $(2, 0), (0, -2)$.