Номер 0.39, страница 8 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.39. Найдите область определения функции $y = \frac{x-1}{x+2} + \frac{\sqrt{30+x-x^2}}{\sqrt{x^2-2x}}$.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $y = \frac{x-1}{x+2} + \frac{\sqrt{30 + x - x^2}}{\sqrt{x^2 - 2x}}$ состоит из двух слагаемых, поэтому ее область определения будет являться пересечением областей определения для каждого из них. Для нахождения области определения необходимо учесть следующие ограничения:

1. Знаменатель первой дроби не может быть равен нулю:$x + 2 \neq 0$$x \neq -2$

2. Подрадикальное выражение в числителе второй дроби должно быть неотрицательным (больше или равно нулю):$30 + x - x^2 \ge 0$Умножим неравенство на $-1$ и сменим знак на противоположный:$x^2 - x - 30 \le 0$Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни уравнения $x^2 - x - 30 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем:$x_1 = -5$ и $x_2 = 6$.Парабола $f(x) = x^2 - x - 30$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает значения меньше или равные нулю на отрезке между корнями.Таким образом, решение этого неравенства: $x \in [-5, 6]$.

3. Подрадикальное выражение в знаменателе второй дроби должно быть строго положительным, так как оно находится под знаком корня и в знаменателе дроби (деление на ноль недопустимо):$x^2 - 2x > 0$Разложим на множители левую часть:$x(x - 2) > 0$Корнями уравнения $x(x - 2) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.Парабола $f(x) = x^2 - 2x$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает положительные значения вне отрезка между корнями.Следовательно, решение этого неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$.

Для нахождения итоговой области определения функции необходимо найти пересечение всех трех полученных условий:$\begin{cases} x \neq -2 \\ x \in [-5, 6] \\ x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty) \end{cases}$

Найдем пересечение интервалов $[-5, 6]$ и $((-\infty, 0) \cup (2, \infty))$. Это дает нам объединение двух интервалов: $[-5, 0) \cup (2, 6]$.

Теперь учтем условие $x \neq -2$. Так как значение $-2$ попадает в интервал $[-5, 0)$, мы должны исключить эту точку, разбив интервал на два: $[-5, -2) \cup (-2, 0)$.

Объединив все результаты, получим окончательную область определения функции.

Ответ: $x \in [-5, -2) \cup (-2, 0) \cup (2, 6]$.