Номер 0.28, страница 6 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.28. Определите четность функции:

1) $y = x^3 - 7x;$

2) $y = 1 - \cos x;$

3) $y = \cos x \sin x;$

4) $y = \text{tg} x \cdot \sin^2 x.$

Для определения четности функции $y = f(x)$ необходимо проверить два условия:
1. Область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат (т.е. если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ должен принадлежать ей).
2. Должно выполняться одно из следующих равенств для любого $x$ из области определения:
• $f(-x) = f(x)$ — в этом случае функция является четной.
• $f(-x) = -f(x)$ — в этом случае функция является нечетной.
Если ни одно из этих равенств не выполняется, то функция является ни четной, ни нечетной.

1) $y = x^3 - 7x$

Обозначим функцию как $f(x) = x^3 - 7x$.
Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)^3 - 7(-x) = -x^3 + 7x$.
Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:
$-f(x) = -(x^3 - 7x) = -x^3 + 7x$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

2) $y = 1 - \cos x$

Обозначим функцию как $f(x) = 1 - \cos x$.
Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = 1 - \cos(-x)$.
Поскольку косинус — четная функция, $\cos(-x) = \cos x$.
Следовательно, $f(-x) = 1 - \cos x$.
Сравнивая $f(-x)$ с $f(x)$, получаем:
$f(-x) = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

3) $y = \cos x \sin x$

Обозначим функцию как $f(x) = \cos x \sin x$.
Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = \cos(-x) \sin(-x)$.
Используем свойства четности тригонометрических функций: $\cos(-x) = \cos x$ (четная) и $\sin(-x) = -\sin x$ (нечетная).
$f(-x) = (\cos x)(-\sin x) = -\cos x \sin x$.
Сравнивая $f(-x)$ с $-f(x)$, получаем:
$f(-x) = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

4) $y = \tg x \cdot \sin^2 x$

Обозначим функцию как $f(x) = \tg x \cdot \sin^2 x$.
Область определения функции $D(f)$ задается условием $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно нуля.
Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = \tg(-x) \cdot \sin^2(-x)$.
Используем свойства четности тригонометрических функций:
• Тангенс — нечетная функция: $\tg(-x) = -\tg x$.
• Квадрат синуса — четная функция, так как $\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$.
Подставим эти выражения в формулу для $f(-x)$:
$f(-x) = (-\tg x) \cdot (\sin^2 x) = -(\tg x \cdot \sin^2 x)$.
Сравнивая $f(-x)$ с $-f(x)$, получаем:
$f(-x) = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.