Страница 9 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.45. Найдите значение следующего выражения, если $tg\alpha = 3$:

1) $\frac{2 \cos^2 \alpha - 7 \sin^2 \alpha}{3 \sin^2 \alpha + 4 \sin \alpha \cos \alpha}$;

2) $\frac{\sin \alpha + 3 \cos \alpha}{\sin^3 \alpha - 3 \cos^3 \alpha}$.

1) Дано выражение $ \frac{2\cos^2\alpha - 7\sin^2\alpha}{3\sin^2\alpha + 4\sin\alpha\cos\alpha} $ и известно, что $ \tan\alpha = 3 $. Поскольку значение тангенса определено, $ \cos\alpha \neq 0 $. Числитель и знаменатель данной дроби являются однородными многочленами второй степени относительно $ \sin\alpha $ и $ \cos\alpha $. Это позволяет нам разделить числитель и знаменатель на $ \cos^2\alpha $, чтобы перейти к тангенсам.
$ \frac{2\cos^2\alpha - 7\sin^2\alpha}{3\sin^2\alpha + 4\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\frac{2\cos^2\alpha - 7\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{3\sin^2\alpha + 4\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\frac{2\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} - \frac{7\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{3\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{4\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{2 - 7\tan^2\alpha}{3\tan^2\alpha + 4\tan\alpha} $.
Теперь подставим известное значение $ \tan\alpha = 3 $ в полученное выражение:
$ \frac{2 - 7(3)^2}{3(3)^2 + 4(3)} = \frac{2 - 7 \cdot 9}{3 \cdot 9 + 12} = \frac{2 - 63}{27 + 12} = \frac{-61}{39} $.
Ответ: $ -\frac{61}{39} $.

2) Дано выражение $ \frac{\sin\alpha + 3\cos\alpha}{\sin^3\alpha - 3\cos^3\alpha} $ и известно, что $ \tan\alpha = 3 $. Как и в предыдущем пункте, $ \cos\alpha \neq 0 $. В этом выражении числитель является однородным многочленом первой степени, а знаменатель — третьей. Чтобы выразить все через $ \tan\alpha $, разделим числитель и знаменатель на $ \cos\alpha $ в наибольшей степени, которая встречается в дроби, то есть на $ \cos^3\alpha $.
$ \frac{\sin\alpha + 3\cos\alpha}{\sin^3\alpha - 3\cos^3\alpha} = \frac{\frac{\sin\alpha + 3\cos\alpha}{\cos^3\alpha}}{\frac{\sin^3\alpha - 3\cos^3\alpha}{\cos^3\alpha}} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos^3\alpha} + \frac{3\cos\alpha}{\cos^3\alpha}}{\frac{\sin^3\alpha}{\cos^3\alpha} - \frac{3\cos^3\alpha}{\cos^3\alpha}} = \frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{1}{\cos^2\alpha} + \frac{3}{\cos^2\alpha}}{\tan^3\alpha - 3} $.
Используем основное тригонометрическое тождество в виде $ \frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \tan^2\alpha $. Тогда выражение примет вид:
$ \frac{\tan\alpha(1+\tan^2\alpha) + 3(1+\tan^2\alpha)}{\tan^3\alpha - 3} = \frac{(\tan\alpha + 3)(1 + \tan^2\alpha)}{\tan^3\alpha - 3} $.
Теперь подставим значение $ \tan\alpha = 3 $:
$ \frac{(3 + 3)(1 + 3^2)}{3^3 - 3} = \frac{6 \cdot (1 + 9)}{27 - 3} = \frac{6 \cdot 10}{24} = \frac{60}{24} $.
Сократим полученную дробь: $ \frac{60}{24} = \frac{5 \cdot 12}{2 \cdot 12} = \frac{5}{2} $.
Ответ: $ \frac{5}{2} $.

0.46. Докажите неравенство $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n}$, $n \ge 2$.

Докажем данное неравенство $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n}$ для $n \ge 2$ методом математической индукции.

База индукции

Проверим истинность неравенства для наименьшего допустимого значения $n=2$.

$1 + \frac{1}{\sqrt{2}} > \sqrt{2}$

Для доказательства этого неравенства, перенесём $\frac{1}{\sqrt{2}}$ в правую часть:

$1 > \sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Приведём правую часть к общему знаменателю:

$1 > \frac{(\sqrt{2})^2 - 1}{\sqrt{2}} = \frac{2 - 1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Получилось неравенство $1 > \frac{1}{\sqrt{2}}$. Поскольку обе части положительны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$1^2 > \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$

$1 > \frac{1}{2}$

Это неравенство является верным. Следовательно, база индукции доказана.

Шаг индукции

Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 2$. Это наше индукционное предположение:

$1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k}} > \sqrt{k}$

Теперь докажем, что из этого следует истинность неравенства для $n=k+1$, то есть:

$1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1}$

Выделим в левой части сумму, для которой мы можем применить индукционное предположение:

$\left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k}}\right) + \frac{1}{\sqrt{k+1}}$

Согласно индукционному предположению, выражение в скобках больше, чем $\sqrt{k}$. Заменим его:

$\left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k}}\right) + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}}$

Теперь нам достаточно доказать, что полученное выражение больше, чем правая часть доказываемого неравенства, то есть:

$\sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1}$

Преобразуем это неравенство, перенеся $\sqrt{k}$ в правую часть:

$\frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$

Умножим и разделим правую часть на сопряженное ей выражение $(\sqrt{k+1} + \sqrt{k})$:

$\sqrt{k+1} - \sqrt{k} = \frac{(\sqrt{k+1} - \sqrt{k})(\sqrt{k+1} + \sqrt{k})}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \frac{(k+1) - k}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}$

Подставим это выражение обратно в неравенство:

$\frac{1}{\sqrt{k+1}} > \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}$

Так как числители дробей равны 1, а знаменатели положительны, неравенство верно тогда и только тогда, когда знаменатель левой дроби меньше знаменателя правой:

$\sqrt{k+1} < \sqrt{k+1} + \sqrt{k}$

Вычитая $\sqrt{k+1}$ из обеих частей, получаем:

$0 < \sqrt{k}$

Это неравенство является истинным для любого $k \ge 2$. Следовательно, шаг индукции доказан.

Заключение

Мы доказали базу индукции ($n=2$) и шаг индукции (из истинности для $k$ следует истинность для $k+1$). По принципу математической индукции, исходное неравенство верно для всех целых чисел $n \ge 2$.

Ответ: Неравенство доказано.

0.47. Сколько общих членов имеют арифметические прогрессии:

1, 4, 7, 10, ..., $a_n$ и 3, 7, 11, 15, ..., $b_m$, если $a_n \le 200$ и $b_m \le 200$?

Рассмотрим две арифметические прогрессии.

Первая прогрессия ($a_n$): 1, 4, 7, 10, ... Ее первый член $a_1 = 1$, а разность $d_1 = 3$. Формула для n-го члена этой прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d_1 = 1 + (n-1)3 = 3n - 2$.

Вторая прогрессия ($b_m$): 3, 7, 11, 15, ... Ее первый член $b_1 = 3$, а разность $d_2 = 4$. Формула для m-го члена этой прогрессии: $b_m = b_1 + (m-1)d_2 = 3 + (m-1)4 = 4m - 1$.

Общие члены этих двух прогрессий также образуют арифметическую прогрессию. Найдем ее первый член и разность.

Первый общий член можно найти, выписав несколько первых членов каждой прогрессии: $a_n$: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, ... $b_m$: 3, 7, 11, 15, 19, ... Первый общий член $c_1 = 7$.

Разность новой прогрессии общих членов ($d_c$) равна наименьшему общему кратному (НОК) разностей исходных прогрессий: $d_c = \text{НОК}(d_1, d_2) = \text{НОК}(3, 4) = 12$.

Таким образом, последовательность общих членов ($c_k$) является арифметической прогрессией с первым членом $c_1 = 7$ и разностью $d_c = 12$. Формула для k-го общего члена: $c_k = c_1 + (k-1)d_c = 7 + (k-1)12 = 7 + 12k - 12 = 12k - 5$.

По условию задачи, нас интересуют только те члены, которые не превышают 200. Значит, нам нужно найти количество таких $k$ (где $k$ - натуральное число), для которых выполняется неравенство: $c_k \le 200$ $12k - 5 \le 200$

Решим это неравенство: $12k \le 205$ $k \le \frac{205}{12}$ $k \le 17.083...$

Поскольку $k$ должно быть целым числом (номер члена в последовательности), наибольшее возможное значение для $k$ равно 17. Следовательно, существует 17 общих членов для данных прогрессий, не превышающих 200.

Ответ: 17

0.48. Могут ли быть членами (не обязательно соседними) одной геометрической прогрессии числа 10; 11; 15?

Предположим, что числа 10, 11 и 15 являются членами одной геометрической прогрессии. Пусть $b_1$ — первый член этой прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Тогда данные числа могут быть представлены как: $10 = b_1 q^{k-1}$ $11 = b_1 q^{l-1}$ $15 = b_1 q^{m-1}$ где $k, l, m$ — различные натуральные числа, являющиеся номерами этих членов.

Рассмотрим отношения этих членов. Отношение любых двух членов геометрической прогрессии является степенью её знаменателя. $\frac{11}{10} = \frac{b_1 q^{l-1}}{b_1 q^{k-1}} = q^{l-k}$ $\frac{15}{11} = \frac{b_1 q^{m-1}}{b_1 q^{l-1}} = q^{m-l}$

Пусть $p = l-k$ и $s = m-l$. Так как $k, l, m$ — различные натуральные числа, то $p$ и $s$ — ненулевые целые числа. Мы получили систему: $q^p = \frac{11}{10}$ $q^s = \frac{15}{11}$

Из первого уравнения можно выразить $q$, возведя обе части в степень $1/p$: $q = \left(\frac{11}{10}\right)^{1/p}$. Подставим это во второе уравнение: $\left(\left(\frac{11}{10}\right)^{1/p}\right)^s = \frac{15}{11}$ $\left(\frac{11}{10}\right)^{s/p} = \frac{15}{11}$

Для удобства, возведем обе части равенства в степень $p$: $\left(\frac{11}{10}\right)^s = \left(\frac{15}{11}\right)^p$

Преобразуем это равенство, используя разложение чисел на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$, $15 = 3 \cdot 5$, а 11 — простое число. $\frac{11^s}{(2 \cdot 5)^s} = \frac{(3 \cdot 5)^p}{11^p}$ $11^s \cdot 11^p = (3 \cdot 5)^p \cdot (2 \cdot 5)^s$ $11^{s+p} = 3^p \cdot 5^p \cdot 2^s \cdot 5^s$ $11^{s+p} = 2^s \cdot 3^p \cdot 5^{s+p}$

Перенесем все множители в левую часть, чтобы справа осталась единица: $2^{-s} \cdot 3^{-p} \cdot 5^{-(s+p)} \cdot 11^{s+p} = 1$

Согласно основной теореме арифметики, каждое целое число, большее 1, может быть представлено в виде произведения простых чисел единственным образом. Это свойство распространяется и на рациональные числа. Для того чтобы полученное выражение, состоящее из произведения степеней различных простых чисел, было равно 1, необходимо, чтобы показатели всех степеней были равны нулю. $-s = 0 \implies s = 0$ $-p = 0 \implies p = 0$ $s+p = 0$

Таким образом, мы получаем, что $p=0$ и $s=0$. Однако $p = l-k$ и $s = m-l$. Если $p=0$, то $l=k$. Если $s=0$, то $m=l$. Это означает, что $k=l=m$, то есть все три числа являются одним и тем же членом прогрессии. Но числа 10, 11 и 15 различны. Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение неверно.

Ответ: Нет, не могут.

0.49. Числа $a$, $b$, $c$ образуют геометрическую прогрессию, а числа $a$, $2b$, $3c$ – арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, отличный от $1$.

Пусть $a$, $b$, $c$ — три последовательных члена геометрической прогрессии. Обозначим знаменатель этой прогрессии через $q$. Тогда, по определению геометрической прогрессии, мы можем выразить $b$ и $c$ через $a$ и $q$:

$b = a \cdot q$

$c = b \cdot q = (a \cdot q) \cdot q = a \cdot q^2$

По условию задачи, числа $a$, $2b$, $3c$ образуют арифметическую прогрессию. Основное свойство арифметической прогрессии заключается в том, что каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Для нашей последовательности это означает:

$2b = \frac{a + 3c}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$4b = a + 3c$

Теперь подставим в это уравнение выражения для $b$ и $c$, которые мы получили из свойства геометрической прогрессии:

$4(a \cdot q) = a + 3(a \cdot q^2)$

$4aq = a + 3aq^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $q$:

$3aq^2 - 4aq + a = 0$

Если $a=0$, то $b=0$ и $c=0$. В этом случае последовательность $0, 0, 0$ является геометрической прогрессией с любым знаменателем $q$, а последовательность $0, 0, 0$ является арифметической. Задача в таком случае не имела бы единственного решения. Будем считать, что $a \neq 0$. Тогда мы можем разделить обе части уравнения на $a$:

$3q^2 - 4q + 1 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Решим его. Найдем дискриминант $D$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$

Теперь найдем корни уравнения для $q$:

$q_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$q_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

В условии задачи сказано, что знаменатель геометрической прогрессии отличен от 1. Следовательно, решение $q_1 = 1$ нам не подходит.

Таким образом, единственным решением, удовлетворяющим условию задачи, является $q_2 = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

0.50. Найдите сумму ряда:

1) $ \frac{9}{25} - \frac{27}{125} + \dots + \left(-\frac{3}{5}\right)^{n+1} + \dots; $

2) $ \sin \frac{\pi}{3} + \sin^2 \frac{\pi}{3} + \sin^3 \frac{\pi}{3} + \dots + \sin^n \frac{\pi}{3} + \dots . $

1) Данный ряд $ \frac{9}{25} - \frac{27}{125} + \dots + (-\frac{3}{5})^{n+1} + \dots $ представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию.
Чтобы найти сумму этого ряда, сначала определим его первый член $b_1$ и знаменатель $q$.
Первый член ряда соответствует $n=1$ в общей формуле члена $b_n = (-\frac{3}{5})^{n+1}$:
$b_1 = (-\frac{3}{5})^{1+1} = (-\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$.
Второй член ряда ($n=2$):
$b_2 = (-\frac{3}{5})^{2+1} = (-\frac{3}{5})^3 = -\frac{27}{125}$.
Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-27/125}{9/25} = -\frac{27}{125} \cdot \frac{25}{9} = -\frac{3 \cdot 9}{5 \cdot 25} \cdot \frac{25}{9} = -\frac{3}{5}$.
Ряд является сходящимся, так как модуль его знаменателя меньше единицы:
$|q| = |-\frac{3}{5}| = \frac{3}{5} < 1$.
Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.
Подставим найденные значения $b_1$ и $q$:
$S = \frac{\frac{9}{25}}{1 - (-\frac{3}{5})} = \frac{\frac{9}{25}}{1 + \frac{3}{5}} = \frac{\frac{9}{25}}{\frac{5+3}{5}} = \frac{\frac{9}{25}}{\frac{8}{5}} = \frac{9}{25} \cdot \frac{5}{8} = \frac{9}{5 \cdot 8} = \frac{9}{40}$.

Ответ: $\frac{9}{40}$.

2) Ряд $ \sin\frac{\pi}{3} + \sin^2\frac{\pi}{3} + \sin^3\frac{\pi}{3} + \dots + \sin^n\frac{\pi}{3} + \dots $ также является бесконечной геометрической прогрессией.
Определим первый член $b_1$ и знаменатель $q$ этой прогрессии.
Первый член: $b_1 = \sin\frac{\pi}{3}$.
Второй член: $b_2 = \sin^2\frac{\pi}{3}$.
Знаменатель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\sin^2\frac{\pi}{3}}{\sin\frac{\pi}{3}} = \sin\frac{\pi}{3}$.
Найдем числовое значение $\sin\frac{\pi}{3}$:
$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, $b_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Проверим условие сходимости ряда:
$|q| = |\frac{\sqrt{3}}{2}| = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 < 1$.
Так как условие $|q|<1$ выполняется, ряд сходится, и его сумму можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.
$S = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2-\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$.
Для упрощения выражения избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(2+\sqrt{3})$:
$S = \frac{\sqrt{3}(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2\sqrt{3} + 3}{4 - 3} = \frac{3 + 2\sqrt{3}}{1} = 3 + 2\sqrt{3}$.

Ответ: $3 + 2\sqrt{3}$.