Номер 0.50, страница 9 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.50. Найдите сумму ряда:

1) $ \frac{9}{25} - \frac{27}{125} + \dots + \left(-\frac{3}{5}\right)^{n+1} + \dots; $

2) $ \sin \frac{\pi}{3} + \sin^2 \frac{\pi}{3} + \sin^3 \frac{\pi}{3} + \dots + \sin^n \frac{\pi}{3} + \dots . $

1) Данный ряд $ \frac{9}{25} - \frac{27}{125} + \dots + (-\frac{3}{5})^{n+1} + \dots $ представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию.
Чтобы найти сумму этого ряда, сначала определим его первый член $b_1$ и знаменатель $q$.
Первый член ряда соответствует $n=1$ в общей формуле члена $b_n = (-\frac{3}{5})^{n+1}$:
$b_1 = (-\frac{3}{5})^{1+1} = (-\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$.
Второй член ряда ($n=2$):
$b_2 = (-\frac{3}{5})^{2+1} = (-\frac{3}{5})^3 = -\frac{27}{125}$.
Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-27/125}{9/25} = -\frac{27}{125} \cdot \frac{25}{9} = -\frac{3 \cdot 9}{5 \cdot 25} \cdot \frac{25}{9} = -\frac{3}{5}$.
Ряд является сходящимся, так как модуль его знаменателя меньше единицы:
$|q| = |-\frac{3}{5}| = \frac{3}{5} < 1$.
Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.
Подставим найденные значения $b_1$ и $q$:
$S = \frac{\frac{9}{25}}{1 - (-\frac{3}{5})} = \frac{\frac{9}{25}}{1 + \frac{3}{5}} = \frac{\frac{9}{25}}{\frac{5+3}{5}} = \frac{\frac{9}{25}}{\frac{8}{5}} = \frac{9}{25} \cdot \frac{5}{8} = \frac{9}{5 \cdot 8} = \frac{9}{40}$.

Ответ: $\frac{9}{40}$.

2) Ряд $ \sin\frac{\pi}{3} + \sin^2\frac{\pi}{3} + \sin^3\frac{\pi}{3} + \dots + \sin^n\frac{\pi}{3} + \dots $ также является бесконечной геометрической прогрессией.
Определим первый член $b_1$ и знаменатель $q$ этой прогрессии.
Первый член: $b_1 = \sin\frac{\pi}{3}$.
Второй член: $b_2 = \sin^2\frac{\pi}{3}$.
Знаменатель прогрессии: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\sin^2\frac{\pi}{3}}{\sin\frac{\pi}{3}} = \sin\frac{\pi}{3}$.
Найдем числовое значение $\sin\frac{\pi}{3}$:
$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, $b_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $q = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Проверим условие сходимости ряда:
$|q| = |\frac{\sqrt{3}}{2}| = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 < 1$.
Так как условие $|q|<1$ выполняется, ряд сходится, и его сумму можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.
$S = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2-\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$.
Для упрощения выражения избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(2+\sqrt{3})$:
$S = \frac{\sqrt{3}(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2\sqrt{3} + 3}{4 - 3} = \frac{3 + 2\sqrt{3}}{1} = 3 + 2\sqrt{3}$.

Ответ: $3 + 2\sqrt{3}$.