Практическая работа, страница 16 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

По данным рис. 1.12 выразите $a$ через $\alpha$, здесь $r, b$ – постоянные величины. Будет ли эта зависимость функцией? Какова область определения этой функции?

Рис. 1.12

По данным рис. 1.12 выразите a через α, здесь r, b — постоянные величины.

Для решения задачи введем систему координат. Пусть точка O, центр левой дуги окружности, является началом координат (0, 0). Тогда горизонтальная пунктирная линия будет осью Ox, а вертикальная пунктирная линия, проходящая через O, — осью Oy. В этой системе координат точка A, лежащая на дуге окружности радиуса r, будет иметь координаты $(r \cdot \cos\alpha, r \cdot \sin\alpha)$.

Фигура симметрична относительно вертикальной оси. Найдем положение этой оси. Левая дуга начинается на оси Ox в точке с координатой r. Ширина самой узкой части фигуры равна b. Следовательно, правая дуга начинается в точке с координатой $r+b$. Ось симметрии проходит посередине, то есть ее координата по оси Ox равна $x_{c} = r + \frac{b}{2}$.

Величина a представляет собой расстояние по горизонтали от оси симметрии до точки A. Горизонтальная координата точки A равна $x_A = r \cdot \cos\alpha$. Тогда расстояние a можно найти как разность между положением оси симметрии и горизонтальной координатой точки A:

$a = x_c - x_A = (r + \frac{b}{2}) - r \cdot \cos\alpha$

Выражение можно преобразовать, вынеся r за скобки:

$a = r(1 - \cos\alpha) + \frac{b}{2}$

Ответ: $a = r(1 - \cos\alpha) + \frac{b}{2}$.

Будет ли эта зависимость функцией?

Да, полученная зависимость $a(\alpha)$ является функцией. По определению, функция — это правило, согласно которому каждому значению независимой переменной (аргумента) из некоторого множества (области определения) соответствует единственное значение зависимой переменной (функции).

В нашем случае для любого допустимого значения угла α существует единственное значение тригонометрической функции $\cos\alpha$. Поскольку r и b являются постоянными величинами, то и все выражение $r(1 - \cos\alpha) + \frac{b}{2}$ будет принимать единственное значение. Таким образом, каждому значению α соответствует единственное значение a.

Ответ: Да, эта зависимость является функцией.

Какова область определения этой функции?

Область определения функции — это множество всех допустимых значений ее аргумента, в данном случае угла α. Из геометрического смысла задачи, представленного на рисунке, видно, что угол α может изменяться от 0 до $π/2$ радиан (или от 0° до 90°).

• При $α = 0$ точка A находится в самой нижней точке дуги (на горизонтальной оси). В этом случае $\cos(0) = 1$, и $a = r(1-1) + b/2 = b/2$. Это соответствует половине ширины зазора в самом узком месте.
• При $α = π/2$ точка A находится в самой верхней точке дуги (на уровне центра O). В этом случае $\cos(π/2) = 0$, и $a = r(1-0) + b/2 = r + b/2$. Это соответствует максимальному значению a.

Таким образом, область определения для угла α — это отрезок от 0 до $π/2$.

Ответ: Область определения функции: $α \in [0, \frac{π}{2}]$.