Номер 1.6, страница 17 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.6. Задайте функцию $y = x^2 - 6x + 5$ на множестве действительных чисел графическим способом.

Чтобы задать функцию $y = x^2 - 6x + 5$ графическим способом, необходимо построить ее график. Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Построение графика выполним в несколько шагов.

1. Анализ функции и определение направления параболы
Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Нахождение координат вершины параболы
Координаты вершины $(x_в, y_в)$ находятся по формулам:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$
Для нахождения $y_в$ подставим значение $x_в$ в уравнение функции:
$y_в = (3)^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3, -4)$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат
Пересечение с осью ординат (Oy):
Для этого нужно подставить $x=0$ в уравнение функции:
$y(0) = 0^2 - 6 \cdot 0 + 5 = 5$
Точка пересечения с осью Oy — $(0, 5)$.

Пересечение с осью абсцисс (Ox):
Для этого нужно решить уравнение $y=0$:
$x^2 - 6x + 5 = 0$
Это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 6$
$x_1 \cdot x_2 = 5$
Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.
Точки пересечения с осью Ox — $(1, 0)$ и $(5, 0)$.

4. Нахождение дополнительных точек для точности построения
Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину, $x = 3$. Воспользуемся свойством симметрии. Точка $(0, 5)$ находится на 3 единицы левее оси симметрии. Значит, симметричная ей точка будет иметь абсциссу $x = 3 + 3 = 6$ и ту же ординату $y=5$. Получаем точку $(6, 5)$.
Найдем еще одну пару симметричных точек. Возьмем $x=2$:
$y(2) = 2^2 - 6(2) + 5 = 4 - 12 + 5 = -3$. Получаем точку $(2, -3)$.
Симметричная ей точка при $x=4$ будет иметь ту же ординату: $(4, -3)$.

5. Построение графика
Отметим найденные точки на координатной плоскости: вершину $(3, -4)$, точки пересечения с осями $(0, 5)$, $(1, 0)$, $(5, 0)$ и дополнительные точки $(2, -3)$, $(4, -3)$, $(6, 5)$. Соединим их плавной линией, чтобы получить искомую параболу.

Ответ: Графический способ задания функции $y = x^2 - 6x + 5$ представлен на рисунке выше.