Страница 17 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.4. Какие из точек A(0; 1), B(1; 0), C(1; 2), K(2; 1), M(2; -1) принадлежат графику функции $y = \frac{(x-1)^2}{1-x}$, заданной на множестве действительных чисел?

Чтобы определить, какие из данных точек принадлежат графику функции $y = \frac{(x-1)^2}{1-x}$, необходимо проверить, удовлетворяют ли координаты каждой точки уравнению функции, и входит ли абсцисса точки в область определения функции.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) функции.

Функция представляет собой дробь, знаменатель которой не может быть равен нулю.$1 - x \neq 0$$x \neq 1$Следовательно, область определения функции — все действительные числа, кроме $x=1$. $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Упрощение формулы функции.

Для всех $x$ из области определения можно упростить выражение. Заметим, что $(x-1)^2 = (-(1-x))^2 = (1-x)^2$.$y = \frac{(x-1)^2}{1-x} = \frac{(1-x)^2}{1-x} = 1-x$Таким образом, для всех $x \neq 1$ график функции совпадает с графиком прямой $y = 1-x$.

3. Проверка каждой точки.

A(0; 1)

Подставляем координаты точки $x=0$ и $y=1$ в упрощенное уравнение $y = 1-x$.$1 = 1 - 0$$1 = 1$Равенство верное. Абсцисса $x=0$ входит в ОДЗ. Следовательно, точка A(0; 1) принадлежит графику функции.

B(1; 0)

Абсцисса точки $x=1$ не входит в область определения функции. Следовательно, точка B(1; 0) не принадлежит графику функции.

C(1; 2)

Абсцисса точки $x=1$ не входит в область определения функции. Следовательно, точка C(1; 2) не принадлежит графику функции.

K(2; 1)

Подставляем координаты точки $x=2$ и $y=1$ в упрощенное уравнение $y = 1-x$.$1 = 1 - 2$$1 = -1$Равенство неверное. Следовательно, точка K(2; 1) не принадлежит графику функции.

M(2; -1)

Подставляем координаты точки $x=2$ и $y=-1$ в упрощенное уравнение $y = 1-x$.$-1 = 1 - 2$$-1 = -1$Равенство верное. Абсцисса $x=2$ входит в ОДЗ. Следовательно, точка M(2; -1) принадлежит графику функции.

Ответ: A(0; 1), M(2; -1).

1.5. Какое из соответствий, указанных на рис. 1.13, определяет функцию? Обоснуйте ответ.

а) Ось $y$, ось $x$, начало координат $O$.

б) Ось $y$, ось $x$, начало координат $O$.

в) Ось $y$, ось $x$, начало координат $O$.

Рис. 1.13

Функция — это правило, по которому каждому значению независимой переменной $x$ (аргументу) из некоторого множества (области определения) ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной $y$ (значению функции).

Чтобы определить, является ли график функцией, можно использовать тест с помощью вертикальной прямой. Если любая вертикальная прямая, проведенная через область определения, пересекает график только в одной точке, то этот график является функцией. Если хотя бы одна вертикальная прямая пересекает график более чем в одной точке, то это не функция.

Рассмотрим каждый случай:

а)

На данном графике любая вертикальная прямая пересекает кривую не более чем в одной точке. Это означает, что для каждого значения аргумента $x$ существует только одно значение $y$. Следовательно, это соответствие определяет функцию.

Ответ: определяет функцию.

б)

На этом графике можно провести вертикальную прямую (например, при $x > 0$), которая пересечет кривую в двух точках. Это означает, что одному значению аргумента $x$ соответствуют два различных значения $y$. Это противоречит определению функции.

Ответ: не определяет функцию.

в)

На данном графике, как и в случае а), любая вертикальная прямая пересекает кривую ровно в одной точке. Для каждого значения $x$ из области определения существует единственное значение $y$. Следовательно, это соответствие также определяет функцию.

Ответ: определяет функцию.

Таким образом, соответствия, представленные на рисунках а) и в), определяют функции, так как они удовлетворяют определению функции. Соответствие на рисунке б) функцией не является.

1.6. Задайте функцию $y = x^2 - 6x + 5$ на множестве действительных чисел графическим способом.

Чтобы задать функцию $y = x^2 - 6x + 5$ графическим способом, необходимо построить ее график. Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Построение графика выполним в несколько шагов.

1. Анализ функции и определение направления параболы
Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Нахождение координат вершины параболы
Координаты вершины $(x_в, y_в)$ находятся по формулам:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$
Для нахождения $y_в$ подставим значение $x_в$ в уравнение функции:
$y_в = (3)^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3, -4)$.

3. Нахождение точек пересечения с осями координат
Пересечение с осью ординат (Oy):
Для этого нужно подставить $x=0$ в уравнение функции:
$y(0) = 0^2 - 6 \cdot 0 + 5 = 5$
Точка пересечения с осью Oy — $(0, 5)$.

Пересечение с осью абсцисс (Ox):
Для этого нужно решить уравнение $y=0$:
$x^2 - 6x + 5 = 0$
Это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 6$
$x_1 \cdot x_2 = 5$
Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.
Точки пересечения с осью Ox — $(1, 0)$ и $(5, 0)$.

4. Нахождение дополнительных точек для точности построения
Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину, $x = 3$. Воспользуемся свойством симметрии. Точка $(0, 5)$ находится на 3 единицы левее оси симметрии. Значит, симметричная ей точка будет иметь абсциссу $x = 3 + 3 = 6$ и ту же ординату $y=5$. Получаем точку $(6, 5)$.
Найдем еще одну пару симметричных точек. Возьмем $x=2$:
$y(2) = 2^2 - 6(2) + 5 = 4 - 12 + 5 = -3$. Получаем точку $(2, -3)$.
Симметричная ей точка при $x=4$ будет иметь ту же ординату: $(4, -3)$.

5. Построение графика
Отметим найденные точки на координатной плоскости: вершину $(3, -4)$, точки пересечения с осями $(0, 5)$, $(1, 0)$, $(5, 0)$ и дополнительные точки $(2, -3)$, $(4, -3)$, $(6, 5)$. Соединим их плавной линией, чтобы получить искомую параболу.

Ответ: Графический способ задания функции $y = x^2 - 6x + 5$ представлен на рисунке выше.

1.7. Задайте функцию $y = x^2 - 6x + 5$ на множестве целых чисел графическим способом.

Данная функция $y = x^2 - 6x + 5$ является квадратичной. На множестве действительных чисел ее графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Однако, по условию задачи, функция задана на множестве целых чисел ($x \in \mathbb{Z}$). Это означает, что ее графиком будет не сплошная кривая, а набор отдельных точек, координаты которых являются целыми числами и удовлетворяют уравнению функции.

Для построения графика найдем ключевые параметры параболы, чтобы выбрать подходящие целые значения $x$.

1. Координаты вершины параболы.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -b/(2a)$:
$x_v = -(-6) / (2 \cdot 1) = 3$.
Подставим $x_v=3$ в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины:
$y_v = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3, -4)$. Поскольку абсцисса вершины является целым числом, эта точка будет частью нашего графика.

2. Вычисление значений функции для целых $x$.
Составим таблицу значений функции для целых чисел $x$, расположенных симметрично относительно оси симметрии параболы $x=3$.

При $x=3, y = -4$ (вершина).
При $x=2, y = 2^2 - 6(2) + 5 = 4 - 12 + 5 = -3$.
При $x=4, y = 4^2 - 6(4) + 5 = 16 - 24 + 5 = -3$.
При $x=1, y = 1^2 - 6(1) + 5 = 1 - 6 + 5 = 0$.
При $x=5, y = 5^2 - 6(5) + 5 = 25 - 30 + 5 = 0$.
При $x=0, y = 0^2 - 6(0) + 5 = 5$.
При $x=6, y = 6^2 - 6(6) + 5 = 36 - 36 + 5 = 5$.

Мы получили набор точек: $(0, 5), (1, 0), (2, -3), (3, -4), (4, -3), (5, 0), (6, 5)$. Теперь нанесем эти точки на координатную плоскость.

Ответ:
Графиком функции $y = x^2 - 6x + 5$ на множестве целых чисел является следующий набор точек:

1.8. Задайте функцию $y = x^2 - 6x + 5$ на множестве $D = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ табличным способом.

Чтобы задать функцию $y = x^2 - 6x + 5$ на множестве $D = \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ табличным способом, необходимо вычислить значение функции $y$ для каждого значения аргумента $x$ из этого множества.

Вычислим значения функции для каждого $x \in D$:
При $x = -1$, $y = (-1)^2 - 6(-1) + 5 = 1 + 6 + 5 = 12$.
При $x = 0$, $y = (0)^2 - 6(0) + 5 = 0 - 0 + 5 = 5$.
При $x = 1$, $y = (1)^2 - 6(1) + 5 = 1 - 6 + 5 = 0$.
При $x = 2$, $y = (2)^2 - 6(2) + 5 = 4 - 12 + 5 = -3$.
При $x = 3$, $y = (3)^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.
При $x = 4$, $y = (4)^2 - 6(4) + 5 = 16 - 24 + 5 = -3$.
При $x = 5$, $y = (5)^2 - 6(5) + 5 = 25 - 30 + 5 = 0$.
При $x = 6$, $y = (6)^2 - 6(6) + 5 = 36 - 36 + 5 = 5$.

Теперь представим полученные пары значений $(x, y)$ в виде таблицы.

Ответ:

1.9. Даны функции $f(x) = \sqrt{x+3}$ и $g(x) = x-2$ на множестве действительных чисел. Найдите область определения функции:

1) $f(x) + g(x)$;

2) $f(x) - g(x)$;

3) $f(x) \cdot g(x)$;

4) $\frac{f(x)}{g(x)}$;

5) $\frac{g(x)}{f(x)}$.

Сначала найдем область определения для каждой из данных функций.

Для функции $f(x) = \sqrt{x+3}$, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x + 3 \ge 0$

$x \ge -3$

Таким образом, область определения функции $f(x)$, обозначаемая как $D(f)$, есть промежуток $[-3; +\infty)$.

Для функции $g(x) = x-2$, это линейная функция, которая определена для всех действительных чисел.

Таким образом, область определения функции $g(x)$, обозначаемая как $D(g)$, есть множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$, то есть $(-\infty; +\infty)$.

Пересечением этих двух областей определения является $D(f) \cap D(g) = [-3; +\infty) \cap (-\infty; +\infty) = [-3; +\infty)$. Это множество будет основой для нахождения областей определения для первых трех случаев.

1) f(x) + g(x);

Область определения суммы функций $f(x) + g(x)$ является пересечением областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$.

$D(f+g) = D(f) \cap D(g) = [-3; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-3; +\infty)$.

2) f(x) - g(x);

Область определения разности функций $f(x) - g(x)$ также является пересечением областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$.

$D(f-g) = D(f) \cap D(g) = [-3; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-3; +\infty)$.

3) f(x) · g(x);

Область определения произведения функций $f(x) \cdot g(x)$ является пересечением областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$.

$D(f \cdot g) = D(f) \cap D(g) = [-3; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-3; +\infty)$.

4) f(x)/g(x);

Область определения частного $\frac{f(x)}{g(x)}$ является пересечением областей определения $f(x)$ и $g(x)$, из которого исключены значения $x$, при которых знаменатель $g(x)$ равен нулю.

Пересечение областей определения $D(f) \cap D(g)$ есть $[-3; +\infty)$.

Найдем значения $x$, при которых $g(x) = 0$:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Это значение необходимо исключить из промежутка $[-3; +\infty)$.

Таким образом, область определения функции $\frac{f(x)}{g(x)}$ есть $[-3; 2) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-3; 2) \cup (2; +\infty)$.

5) g(x)/f(x);

Область определения частного $\frac{g(x)}{f(x)}$ является пересечением областей определения $f(x)$ и $g(x)$, из которого исключены значения $x$, при которых знаменатель $f(x)$ равен нулю.

Пересечение областей определения $D(f) \cap D(g)$ есть $[-3; +\infty)$.

Найдем значения $x$, при которых $f(x) = 0$:

$\sqrt{x+3} = 0$

$x+3 = 0$

$x = -3$

Это значение необходимо исключить из промежутка $[-3; +\infty)$.

Таким образом, область определения функции $\frac{g(x)}{f(x)}$ есть $(-3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3; +\infty)$.

1.10. На множестве действительных чисел заданы функции $f(x) = \sqrt{x-2}$ и $g(x) = 3x - \sqrt{x-2} + 2$. Найдите область определения функции:

1) $f(x) + g(x)$;

2) $f(x) - g(x)$.

Область определения суммы или разности двух функций есть пересечение их областей определения. То есть, область определения функции $h(x) = f(x) \pm g(x)$ находится как $D(h) = D(f) \cap D(g)$.

Сначала найдем область определения для каждой из заданных функций.

1. Функция $f(x) = \sqrt{x-2}$.

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому:

$x - 2 \ge 0$

$x \ge 2$

Следовательно, область определения функции $f(x)$ есть $D(f) = [2; +\infty)$.

2. Функция $g(x) = 3x - \sqrt{x-2} + 2$.

Эта функция также содержит выражение $\sqrt{x-2}$, которое накладывает то же самое ограничение на $x$:

$x - 2 \ge 0$

$x \ge 2$

Слагаемые $3x$ и $2$ определены для всех действительных чисел и не вносят дополнительных ограничений. Таким образом, область определения функции $g(x)$ также $D(g) = [2; +\infty)$.

Теперь найдем области определения для заданных комбинаций функций.

1) f(x) + g(x)

Область определения функции $f(x) + g(x)$ является пересечением областей определения $f(x)$ и $g(x)$:

$D(f+g) = D(f) \cap D(g) = [2; +\infty) \cap [2; +\infty) = [2; +\infty)$.

Если мы выполним сложение функций, то получим:

$f(x) + g(x) = (\sqrt{x-2}) + (3x - \sqrt{x-2} + 2) = 3x + 2$.

Хотя полученная функция $y = 3x + 2$ является линейной и ее область определения — все действительные числа, область определения исходной суммы функций $f(x) + g(x)$ определяется до упрощения и равна $[2; +\infty)$.

Ответ: $[2; +\infty)$.

2) f(x) - g(x)

Область определения функции $f(x) - g(x)$ также является пересечением областей определения $f(x)$ и $g(x)$:

$D(f-g) = D(f) \cap D(g) = [2; +\infty)$.

Выполним вычитание функций:

$f(x) - g(x) = (\sqrt{x-2}) - (3x - \sqrt{x-2} + 2) = \sqrt{x-2} - 3x + \sqrt{x-2} - 2 = 2\sqrt{x-2} - 3x - 2$.

Для полученной функции $y = 2\sqrt{x-2} - 3x - 2$ область определения также находится из условия $x-2 \ge 0$, что дает $x \ge 2$. Это подтверждает ранее найденный результат.

Ответ: $[2; +\infty)$.

1.11. Найдите область определения функции, заданной во множестве действительных чисел:

1) $f(x) = \frac{x-1}{x+1} + \frac{x+1}{x-1}$;

2) $g(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x+1}$;

3) $\varphi(x) = \sqrt{x+2}$;

4) $\psi(x) = \sqrt{|x|+2}$.

1) Область определения функции $f(x) = \frac{x-1}{x+1} + \frac{x+1}{x-1}$ находится из условия, что знаменатели дробей не должны обращаться в ноль.
Для первой дроби знаменатель $x+1 \neq 0$, что означает $x \neq -1$.
Для второй дроби знаменатель $x-1 \neq 0$, что означает $x \neq 1$.
Следовательно, функция определена для всех действительных чисел, кроме $-1$ и $1$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$.

2) Область определения функции $g(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x+1}$ определяется двумя условиями:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x-1 \geq 0$, откуда $x \geq 1$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x+1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$.
Необходимо одновременное выполнение этих условий, что можно записать в виде системы:$\begin{cases}x \geq 1 \\x \neq -1\end{cases}$
Условие $x \neq -1$ автоматически выполняется, если $x \geq 1$. Таким образом, областью определения функции является множество всех чисел, больших или равных 1.
Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

3) Область определения функции $\varphi(x) = \sqrt{x+2}$ находится из условия, что выражение под знаком корня должно быть неотрицательным.
Запишем и решим неравенство:
$x+2 \geq 0$
$x \geq -2$
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, большие или равные $-2$.
Ответ: $x \in [-2, +\infty)$.

4) Для функции $\psi(x) = \sqrt{|x|+2}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $|x|+2 \geq 0$.
Модуль любого действительного числа $|x|$ является неотрицательной величиной, т.е. $|x| \geq 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Следовательно, $|x|+2 \geq 0+2=2$.
Так как выражение $|x|+2$ всегда больше или равно 2, оно всегда положительно, и неравенство $|x|+2 \geq 0$ справедливо для любого действительного числа $x$.
Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.