Номер 1.10, страница 17 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.10. На множестве действительных чисел заданы функции $f(x) = \sqrt{x-2}$ и $g(x) = 3x - \sqrt{x-2} + 2$. Найдите область определения функции:

1) $f(x) + g(x)$;

2) $f(x) - g(x)$.

Область определения суммы или разности двух функций есть пересечение их областей определения. То есть, область определения функции $h(x) = f(x) \pm g(x)$ находится как $D(h) = D(f) \cap D(g)$.

Сначала найдем область определения для каждой из заданных функций.

1. Функция $f(x) = \sqrt{x-2}$.

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому:

$x - 2 \ge 0$

$x \ge 2$

Следовательно, область определения функции $f(x)$ есть $D(f) = [2; +\infty)$.

2. Функция $g(x) = 3x - \sqrt{x-2} + 2$.

Эта функция также содержит выражение $\sqrt{x-2}$, которое накладывает то же самое ограничение на $x$:

$x - 2 \ge 0$

$x \ge 2$

Слагаемые $3x$ и $2$ определены для всех действительных чисел и не вносят дополнительных ограничений. Таким образом, область определения функции $g(x)$ также $D(g) = [2; +\infty)$.

Теперь найдем области определения для заданных комбинаций функций.

1) f(x) + g(x)

Область определения функции $f(x) + g(x)$ является пересечением областей определения $f(x)$ и $g(x)$:

$D(f+g) = D(f) \cap D(g) = [2; +\infty) \cap [2; +\infty) = [2; +\infty)$.

Если мы выполним сложение функций, то получим:

$f(x) + g(x) = (\sqrt{x-2}) + (3x - \sqrt{x-2} + 2) = 3x + 2$.

Хотя полученная функция $y = 3x + 2$ является линейной и ее область определения — все действительные числа, область определения исходной суммы функций $f(x) + g(x)$ определяется до упрощения и равна $[2; +\infty)$.

Ответ: $[2; +\infty)$.

2) f(x) - g(x)

Область определения функции $f(x) - g(x)$ также является пересечением областей определения $f(x)$ и $g(x)$:

$D(f-g) = D(f) \cap D(g) = [2; +\infty)$.

Выполним вычитание функций:

$f(x) - g(x) = (\sqrt{x-2}) - (3x - \sqrt{x-2} + 2) = \sqrt{x-2} - 3x + \sqrt{x-2} - 2 = 2\sqrt{x-2} - 3x - 2$.

Для полученной функции $y = 2\sqrt{x-2} - 3x - 2$ область определения также находится из условия $x-2 \ge 0$, что дает $x \ge 2$. Это подтверждает ранее найденный результат.

Ответ: $[2; +\infty)$.