Номер 1.15, страница 18 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.15. Постройте график функции из задачи 1.12 на множестве:

1) действительных чисел;

2) целых чисел;

3) натуральных чисел.

Поскольку в условии задачи 1.15 не указано, для какой именно функции из задачи 1.12 нужно построить график, приведем решение для всех четырех функций, определенных в задаче 1.12.

Функции из задачи 1.12:

• а) $y = x^2$
• б) $y = \sqrt{x}$
• в) $y = \frac{1}{x}$
• г) $y = |x|$

Решение для функции $y = x^2$ (пункт а) задачи 1.12).

1) действительных чисел

На множестве действительных чисел $x \in \mathbb{R}$ графиком функции является непрерывная кривая — парабола. Ветви параболы направлены вверх, а вершина находится в начале координат $(0,0)$. Функция является четной ($y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$), поэтому ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Ответ:

2) целых чисел

На множестве целых чисел $x \in \mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$ графиком функции является дискретное множество точек, лежащих на параболе $y=x^2$. Каждому целому значению аргумента $x$ соответствует целочисленное значение функции $y=x^2$. Например, $(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)$.

Ответ:

3) натуральных чисел

На множестве натуральных чисел $x \in \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$ (0 не является натуральным числом) графиком функции является дискретное множество точек, которые являются частью графика для целых чисел, но только для положительных значений $x$. Например, $(1, 1), (2, 4), (3, 9)$.

Ответ:

Решение для функции $y = \sqrt{x}$ (пункт б) задачи 1.12).

1) действительных чисел

Область определения функции $D(y) = [0, \infty)$. Графиком является верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси абсцисс (оси OX). Это непрерывная кривая, начинающаяся в точке $(0,0)$ и проходящая через точки $(1,1), (4,2), (9,3)$.

Ответ:

2) целых чисел

На множестве целых чисел область определения $x \in \{0, 1, 2, 3, ...\}$. Графиком является дискретное множество точек $(x, \sqrt{x})$, где $x$ — целое неотрицательное число. Например, $(0,0), (1,1), (2, \sqrt{2}), (3, \sqrt{3}), (4,2)$.

Ответ:

3) натуральных чисел

На множестве натуральных чисел $x \in \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$ график состоит из дискретного множества точек, как и в предыдущем случае, за исключением точки $(0,0)$.

Ответ:

Решение для функции $y = \frac{1}{x}$ (пункт в) задачи 1.12).

1) действительных чисел

Область определения функции $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$. Графиком является гипербола, состоящая из двух ветвей, расположенных в первом и третьем координатных углах. Оси координат являются асимптотами для графика. Функция нечетная ($y(-x) = 1/(-x) = -1/x = -y(x)$), поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

Ответ:

2) целых чисел

На множестве целых чисел $x \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$. Графиком является дискретное множество точек, лежащих на гиперболе. Например, $(1,1), (2, 1/2), (3, 1/3)$ и $(-1,-1), (-2, -1/2)$.

Ответ:

3) натуральных чисел

На множестве натуральных чисел $x \in \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$ график состоит из точек, лежащих на верхней ветви гиперболы, для которых абсцисса является натуральным числом. Например, $(1,1), (2, 1/2), (3, 1/3)$.

Ответ:

Решение для функции $y = |x|$ (пункт г) задачи 1.12).

1) действительных чисел

Область определения функции $D(y) = \mathbb{R}$. График представляет собой "галочку" или V-образную кривую, состоящую из двух лучей, выходящих из начала координат. При $x \ge 0$, $y=x$ (биссектриса первого координатного угла). При $x < 0$, $y=-x$ (биссектриса второго координатного угла). Функция четная, график симметричен относительно оси OY.

Ответ:

2) целых чисел

На множестве целых чисел $x \in \mathbb{Z}$ график представляет собой дискретное множество точек, лежащих на V-образной кривой $y=|x|$. Например, $(-2,2), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,2)$.

Ответ:

3) натуральных чисел

На множестве натуральных чисел $x \in \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$ график состоит из точек с натуральными координатами, лежащих на луче $y=x$ в первой координатной четверти. Например, $(1,1), (2,2), (3,3)$.

Ответ: