Номер 1.9, страница 17 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.9. Даны функции $f(x) = \sqrt{x+3}$ и $g(x) = x-2$ на множестве действительных чисел. Найдите область определения функции:

1) $f(x) + g(x)$;

2) $f(x) - g(x)$;

3) $f(x) \cdot g(x)$;

4) $\frac{f(x)}{g(x)}$;

5) $\frac{g(x)}{f(x)}$.

Сначала найдем область определения для каждой из данных функций.

Для функции $f(x) = \sqrt{x+3}$, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x + 3 \ge 0$

$x \ge -3$

Таким образом, область определения функции $f(x)$, обозначаемая как $D(f)$, есть промежуток $[-3; +\infty)$.

Для функции $g(x) = x-2$, это линейная функция, которая определена для всех действительных чисел.

Таким образом, область определения функции $g(x)$, обозначаемая как $D(g)$, есть множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$, то есть $(-\infty; +\infty)$.

Пересечением этих двух областей определения является $D(f) \cap D(g) = [-3; +\infty) \cap (-\infty; +\infty) = [-3; +\infty)$. Это множество будет основой для нахождения областей определения для первых трех случаев.

1) f(x) + g(x);

Область определения суммы функций $f(x) + g(x)$ является пересечением областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$.

$D(f+g) = D(f) \cap D(g) = [-3; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-3; +\infty)$.

2) f(x) - g(x);

Область определения разности функций $f(x) - g(x)$ также является пересечением областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$.

$D(f-g) = D(f) \cap D(g) = [-3; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-3; +\infty)$.

3) f(x) · g(x);

Область определения произведения функций $f(x) \cdot g(x)$ является пересечением областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$.

$D(f \cdot g) = D(f) \cap D(g) = [-3; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-3; +\infty)$.

4) f(x)/g(x);

Область определения частного $\frac{f(x)}{g(x)}$ является пересечением областей определения $f(x)$ и $g(x)$, из которого исключены значения $x$, при которых знаменатель $g(x)$ равен нулю.

Пересечение областей определения $D(f) \cap D(g)$ есть $[-3; +\infty)$.

Найдем значения $x$, при которых $g(x) = 0$:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Это значение необходимо исключить из промежутка $[-3; +\infty)$.

Таким образом, область определения функции $\frac{f(x)}{g(x)}$ есть $[-3; 2) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-3; 2) \cup (2; +\infty)$.

5) g(x)/f(x);

Область определения частного $\frac{g(x)}{f(x)}$ является пересечением областей определения $f(x)$ и $g(x)$, из которого исключены значения $x$, при которых знаменатель $f(x)$ равен нулю.

Пересечение областей определения $D(f) \cap D(g)$ есть $[-3; +\infty)$.

Найдем значения $x$, при которых $f(x) = 0$:

$\sqrt{x+3} = 0$

$x+3 = 0$

$x = -3$

Это значение необходимо исключить из промежутка $[-3; +\infty)$.

Таким образом, область определения функции $\frac{g(x)}{f(x)}$ есть $(-3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3; +\infty)$.