Страница 18 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.12. Какие из точек A(-2; 1), B(-2; 3), C(1; 0), D(4; 3) принадлежат графику функции

$f(x) = \begin{cases} 1, \text{ если } x < 0, \\ 1 - x, \text{ если } x \ge 0? \end{cases}$

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить ее абсциссу (координату $x$) в определение функции и сравнить полученное значение с ординатой точки (координатой $y$). Если значение функции равно ординате точки, то точка принадлежит графику.

Заданная функция является кусочно-заданной:$f(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x < 0 \\ 1-x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Проверим каждую из точек:

A(-2; 1)

Абсцисса точки $x = -2$. Так как $-2 < 0$, для вычисления значения функции используем первую ветвь: $f(x) = 1$.
$f(-2) = 1$.
Ордината точки $y = 1$.
Поскольку $f(-2) = y$ ($1 = 1$), точка A принадлежит графику функции.
Ответ: точка A(-2; 1) принадлежит графику функции.

B(-2; 3)

Абсцисса точки $x = -2$. Так как $-2 < 0$, используем первую ветвь функции: $f(x) = 1$.
$f(-2) = 1$.
Ордината точки $y = 3$.
Поскольку $f(-2) \ne y$ ($1 \ne 3$), точка B не принадлежит графику функции.
Ответ: точка B(-2; 3) не принадлежит графику функции.

C(1; 0)

Абсцисса точки $x = 1$. Так как $1 \ge 0$, для вычисления значения функции используем вторую ветвь: $f(x) = 1 - x$.
$f(1) = 1 - 1 = 0$.
Ордината точки $y = 0$.
Поскольку $f(1) = y$ ($0 = 0$), точка C принадлежит графику функции.
Ответ: точка C(1; 0) принадлежит графику функции.

D(4; 3)

Абсцисса точки $x = 4$. Так как $4 \ge 0$, используем вторую ветвь функции: $f(x) = 1 - x$.
$f(4) = 1 - 4 = -3$.
Ордината точки $y = 3$.
Поскольку $f(4) \ne y$ ($-3 \ne 3$), точка D не принадлежит графику функции.
Ответ: точка D(4; 3) не принадлежит графику функции.

1.13. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{3x + 1}{x^2 - 3x + 2}$; 2) $f(x) = \sqrt{x^2 - 1} + \frac{1}{\sqrt{3 - x}}$;

3) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3 + |x|}}$; 4) $f(x) = \sqrt{(1 - x)(1 + 5x)}$

5) $f(x) = \frac{x}{|x|}$; 6) $f(x) = \sqrt{x - 2} + \sqrt{4 - x}$.

1) Функция $f(x) = \frac{3x+1}{x^2-3x+2}$ является дробно-рациональной. Область определения такой функции — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю, решив уравнение: $x^2 - 3x + 2 = 0$.
Это квадратное уравнение. Разложим левую часть на множители: $(x-1)(x-2) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $1$ и $2$.
Ответ: $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; 2) \cup (2; +\infty)$.

2) Функция $f(x) = \sqrt{x^2 - 1} + \frac{1}{\sqrt{3-x}}$ представляет собой сумму двух выражений. Область определения является пересечением областей определения каждого из слагаемых.
Для первого слагаемого $\sqrt{x^2 - 1}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - 1 \ge 0$. Решая неравенство $(x-1)(x+1) \ge 0$, получаем $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.
Для второго слагаемого $\frac{1}{\sqrt{3-x}}$ подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным: $3 - x > 0$, откуда $x < 3$, то есть $x \in (-\infty; 3)$.
Теперь найдем пересечение этих двух множеств: $((-\infty; -1] \cup [1; +\infty)) \cap (-\infty; 3)$.
Это соответствует множеству $(-\infty; -1] \cup [1; 3)$.
Ответ: $D(f) = (-\infty; -1] \cup [1; 3)$.

3) В функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3+|x|}}$ выражение под корнем находится в знаменателе, поэтому оно должно быть строго положительным: $3 + |x| > 0$.
Поскольку модуль любого числа $|x|$ всегда неотрицателен, то есть $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$, то сумма $3 + |x| \ge 3$.
Так как $3 > 0$, то неравенство $3 + |x| > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$.
Следовательно, область определения функции — все действительные числа.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

4) Для функции $f(x) = \sqrt{(1-x)(1+5x)}$ выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $(1-x)(1+5x) \ge 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни сомножителей: $1-x=0 \implies x=1$ и $1+5x=0 \implies x=-1/5$.
Эти точки разбивают числовую ось на интервалы. Знак произведения $(1-x)(1+5x)$ положителен на интервале между корнями, так как это парабола с ветвями вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-5$).
Таким образом, решение неравенства — это отрезок между корнями, включая сами корни, так как неравенство нестрогое.
Ответ: $D(f) = [-1/5; 1]$.

5) В функции $f(x) = \frac{x}{|x|}$ знаменатель не может быть равен нулю.
Условие для области определения: $|x| \ne 0$.
Это условие выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$.
Следовательно, область определения — это все действительные числа, кроме нуля.
Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

6) Функция $f(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt{4-x}$ является суммой двух корней. Область определения — это пересечение областей определения каждого из слагаемых. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:
$\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 4 - x \ge 0 \end{cases}$
Решим каждое неравенство:
1) $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$
2) $4 - x \ge 0 \implies 4 \ge x \implies x \le 4$
Объединяя оба условия, получаем двойное неравенство $2 \le x \le 4$.
Ответ: $D(f) = [2; 4]$.

1.14. Задайте функцию $y = 2x^2 - 4x - 6$ на множестве $D = \{x \in \mathbb{Z} : |x| \le 3\}$:

1) графическим;

2) табличным способами.

Дана функция $y = 2x^2 - 4x - 6$ и область определения $D = \{x \in \mathbb{Z} : |x| \le 3\}$.

Сначала определим множество значений $x$, которые входят в область определения $D$. Неравенство $|x| \le 3$ для целых чисел $x$ означает, что $x$ может принимать значения от -3 до 3 включительно. Таким образом, область определения функции представляет собой дискретное множество целых чисел:

$D = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.

Чтобы задать функцию на этом множестве, нужно найти соответствующие значения $y$ для каждого значения $x$ из $D$. Проведем вычисления:

При $x = -3$, $y = 2(-3)^2 - 4(-3) - 6 = 2 \cdot 9 + 12 - 6 = 24$.
При $x = -2$, $y = 2(-2)^2 - 4(-2) - 6 = 2 \cdot 4 + 8 - 6 = 8 + 8 - 6 = 10$.
При $x = -1$, $y = 2(-1)^2 - 4(-1) - 6 = 2 \cdot 1 + 4 - 6 = 2 + 4 - 6 = 0$.
При $x = 0$, $y = 2(0)^2 - 4(0) - 6 = 0 - 0 - 6 = -6$.
При $x = 1$, $y = 2(1)^2 - 4(1) - 6 = 2 - 4 - 6 = -8$.
При $x = 2$, $y = 2(2)^2 - 4(2) - 6 = 8 - 8 - 6 = -6$.
При $x = 3$, $y = 2(3)^2 - 4(3) - 6 = 18 - 12 - 6 = 0$.

Теперь зададим функцию требуемыми способами.

1) графическим способом

Графиком функции на данном множестве является набор из семи точек с вычисленными координатами $(x, y)$. Поскольку область определения $D$ состоит из отдельных целых чисел, график представляет собой не сплошную линию (параболу), а множество изолированных точек: $(-3, 24)$, $(-2, 10)$, $(-1, 0)$, $(0, -6)$, $(1, -8)$, $(2, -6)$ и $(3, 0)$.

Ответ: График функции на множестве $D$ представлен на рисунке.

2) табличным способом

Табличный способ задания функции заключается в представлении пар соответствующих значений аргумента $x$ и функции $y$ в виде таблицы.

Ответ: Таблица значений для функции $y = 2x^2 - 4x - 6$ на множестве $D$ приведена ниже.

1.15. Постройте график функции из задачи 1.12 на множестве:

1) действительных чисел;

2) целых чисел;

3) натуральных чисел.

Поскольку в условии задачи 1.15 не указано, для какой именно функции из задачи 1.12 нужно построить график, приведем решение для всех четырех функций, определенных в задаче 1.12.

Функции из задачи 1.12:

• а) $y = x^2$
• б) $y = \sqrt{x}$
• в) $y = \frac{1}{x}$
• г) $y = |x|$

Решение для функции $y = x^2$ (пункт а) задачи 1.12).

1) действительных чисел

На множестве действительных чисел $x \in \mathbb{R}$ графиком функции является непрерывная кривая — парабола. Ветви параболы направлены вверх, а вершина находится в начале координат $(0,0)$. Функция является четной ($y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$), поэтому ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Ответ:

2) целых чисел

На множестве целых чисел $x \in \mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$ графиком функции является дискретное множество точек, лежащих на параболе $y=x^2$. Каждому целому значению аргумента $x$ соответствует целочисленное значение функции $y=x^2$. Например, $(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)$.

Ответ:

3) натуральных чисел

На множестве натуральных чисел $x \in \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$ (0 не является натуральным числом) графиком функции является дискретное множество точек, которые являются частью графика для целых чисел, но только для положительных значений $x$. Например, $(1, 1), (2, 4), (3, 9)$.

Ответ:

Решение для функции $y = \sqrt{x}$ (пункт б) задачи 1.12).

1) действительных чисел

Область определения функции $D(y) = [0, \infty)$. Графиком является верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси абсцисс (оси OX). Это непрерывная кривая, начинающаяся в точке $(0,0)$ и проходящая через точки $(1,1), (4,2), (9,3)$.

Ответ:

2) целых чисел

На множестве целых чисел область определения $x \in \{0, 1, 2, 3, ...\}$. Графиком является дискретное множество точек $(x, \sqrt{x})$, где $x$ — целое неотрицательное число. Например, $(0,0), (1,1), (2, \sqrt{2}), (3, \sqrt{3}), (4,2)$.

Ответ:

3) натуральных чисел

На множестве натуральных чисел $x \in \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$ график состоит из дискретного множества точек, как и в предыдущем случае, за исключением точки $(0,0)$.

Ответ:

Решение для функции $y = \frac{1}{x}$ (пункт в) задачи 1.12).

1) действительных чисел

Область определения функции $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$. Графиком является гипербола, состоящая из двух ветвей, расположенных в первом и третьем координатных углах. Оси координат являются асимптотами для графика. Функция нечетная ($y(-x) = 1/(-x) = -1/x = -y(x)$), поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

Ответ:

2) целых чисел

На множестве целых чисел $x \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$. Графиком является дискретное множество точек, лежащих на гиперболе. Например, $(1,1), (2, 1/2), (3, 1/3)$ и $(-1,-1), (-2, -1/2)$.

Ответ:

3) натуральных чисел

На множестве натуральных чисел $x \in \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$ график состоит из точек, лежащих на верхней ветви гиперболы, для которых абсцисса является натуральным числом. Например, $(1,1), (2, 1/2), (3, 1/3)$.

Ответ:

Решение для функции $y = |x|$ (пункт г) задачи 1.12).

1) действительных чисел

Область определения функции $D(y) = \mathbb{R}$. График представляет собой "галочку" или V-образную кривую, состоящую из двух лучей, выходящих из начала координат. При $x \ge 0$, $y=x$ (биссектриса первого координатного угла). При $x < 0$, $y=-x$ (биссектриса второго координатного угла). Функция четная, график симметричен относительно оси OY.

Ответ:

2) целых чисел

На множестве целых чисел $x \in \mathbb{Z}$ график представляет собой дискретное множество точек, лежащих на V-образной кривой $y=|x|$. Например, $(-2,2), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,2)$.

Ответ:

3) натуральных чисел

На множестве натуральных чисел $x \in \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$ график состоит из точек с натуральными координатами, лежащих на луче $y=x$ в первой координатной четверти. Например, $(1,1), (2,2), (3,3)$.

Ответ:

1.16. Постройте график функции:

1) $f(x) = 2x - 3$, $D(f) = [-1; 2]$;

2) $g(x) = x^2 - 6x + 5$, $D(g) = [0; 5]$;

3) $h(x) = \frac{2}{x-1}$, $D(h) = [-2; 1) \cup (1; 3]$ .

1) $f(x) = 2x - 3, D(f) = [-1; 2]$

Функция $f(x) = 2x - 3$ является линейной. Ее график — прямая линия. Поскольку область определения функции — отрезок $D(f) = [-1; 2]$, то графиком будет отрезок прямой. Для построения отрезка найдем координаты его концов. Для этого вычислим значения функции на границах области определения.

При $x = -1$:

$f(-1) = 2 \cdot (-1) - 3 = -2 - 3 = -5$

Координаты первой точки: $(-1; -5)$.

При $x = 2$:

$f(2) = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$

Координаты второй точки: $(2; 1)$.

Соединяем эти две точки отрезком. Так как концы отрезка $[-1; 2]$ входят в область определения, точки $(-1; -5)$ и $(2; 1)$ на графике будут закрашенными.

Ответ: График функции представляет собой отрезок, соединяющий точки $(-1; -5)$ и $(2; 1)$. График изображен на рисунке.

2) $g(x) = x^2 - 6x + 5, D(g) = [0; 5]$

Функция $g(x) = x^2 - 6x + 5$ является квадратичной. Ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх. Область определения — отрезок $D(g) = [0; 5]$.

Найдем координаты вершины параболы:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.

$y_в = g(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.

Вершина параболы находится в точке $(3; -4)$. Координата $x_в = 3$ принадлежит области определения $[0; 5]$.

Найдем значения функции на концах отрезка области определения:

При $x = 0$: $g(0) = 0^2 - 6 \cdot 0 + 5 = 5$. Точка $(0; 5)$.

При $x = 5$: $g(5) = 5^2 - 6 \cdot 5 + 5 = 25 - 30 + 5 = 0$. Точка $(5; 0)$.

Для большей точности найдем точки пересечения с осью Ox (нули функции):

$x^2 - 6x + 5 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 5$. Точки пересечения $(1; 0)$ и $(5; 0)$.

Графиком является часть параболы, расположенная на отрезке $[0; 5]$.

Ответ: График функции представляет собой дугу параболы с вершиной в точке $(3; -4)$, ограниченную точками $(0; 5)$ и $(5; 0)$. График изображен на рисунке.

3) $h(x) = \frac{2}{x-1}, D(h) = [-2; 1) \cup (1; 3]$

Функция $h(x) = \frac{2}{x-1}$ является дробно-рациональной. Ее график — гипербола, полученная из графика функции $y = 2/x$ сдвигом на 1 единицу вправо по оси Ox. График имеет вертикальную асимптоту $x = 1$ (значение, при котором знаменатель равен нулю) и горизонтальную асимптоту $y = 0$.

Область определения $D(h) = [-2; 1) \cup (1; 3]$ состоит из двух промежутков, поэтому график будет состоять из двух частей.

Рассмотрим промежуток $[-2; 1)$:

На левой границе $x = -2$ значение функции: $h(-2) = \frac{2}{-2-1} = -\frac{2}{3}$. Точка $(-2; -2/3)$ принадлежит графику.

При приближении $x$ к 1 слева ($x \to 1-$), знаменатель $x-1$ стремится к 0, оставаясь отрицательным, поэтому $h(x) \to -\infty$.

Рассмотрим промежуток $(1; 3]$:

На правой границе $x = 3$ значение функции: $h(3) = \frac{2}{3-1} = \frac{2}{2} = 1$. Точка $(3; 1)$ принадлежит графику.

При приближении $x$ к 1 справа ($x \to 1+$), знаменатель $x-1$ стремится к 0, оставаясь положительным, поэтому $h(x) \to +\infty$.

Дополнительные точки для построения: $h(0) = -2$, $h(2) = 2$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей гиперболы. Первая ветвь на промежутке $[-2; 1)$ начинается в точке $(-2; -2/3)$ и уходит в $-\infty$ при $x \to 1-$. Вторая ветвь на промежутке $(1; 3]$ приходит из $+\infty$ при $x \to 1+$ и заканчивается в точке $(3; 1)$. График изображен на рисунке.

1.17. На множестве $D = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ задана функция $y = 2x - x^2$.

Запишите множество пар чисел, принадлежащих графику этой функции. Изобразите этот график в прямоугольной системе координат.

Запишите множество пар чисел, принадлежащих графику этой функции.

Для того чтобы найти множество пар чисел $(x, y)$, которые принадлежат графику функции $y = 2x - x^2$, необходимо для каждого значения аргумента $x$ из области определения $D = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ вычислить соответствующее значение функции $y$.

Выполним вычисления для каждого значения $x$:
• При $x = -2$, $y = 2 \cdot (-2) - (-2)^2 = -4 - 4 = -8$. Получаем пару чисел $(-2, -8)$.
• При $x = -1$, $y = 2 \cdot (-1) - (-1)^2 = -2 - 1 = -3$. Получаем пару чисел $(-1, -3)$.
• При $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 - 0^2 = 0 - 0 = 0$. Получаем пару чисел $(0, 0)$.
• При $x = 1$, $y = 2 \cdot 1 - 1^2 = 2 - 1 = 1$. Получаем пару чисел $(1, 1)$.
• При $x = 2$, $y = 2 \cdot 2 - 2^2 = 4 - 4 = 0$. Получаем пару чисел $(2, 0)$.

Ответ: $\{(-2, -8), (-1, -3), (0, 0), (1, 1), (2, 0)\}$.

Изобразите этот график в прямоугольной системе координат.

График данной функции состоит из набора отдельных точек, так как область определения $D$ является дискретным множеством, а не сплошным промежутком. Каждая найденная пара чисел $(x, y)$ представляет собой координаты одной точки на графике.

Ответ:

1.18. Постройте график функции $f(x) = x^2 - 4x + 3$ на множестве:

1) действительных чисел;

2) действительных неотрицательных чисел;

3) целых чисел;

4) натуральных чисел.

Для построения графиков функции $f(x) = x^2 - 4x + 3$ на различных множествах, сначала проанализируем саму функцию. Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$ ($1 > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$

$y_v = f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$

Вершина параболы находится в точке $(2, -1)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью ординат (Oy), полагая $x=0$: $f(0) = 0^2 - 4(0) + 3 = 3$. Точка пересечения — $(0, 3)$.

С осью абсцисс (Ox), полагая $f(x)=0$: $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Точки пересечения — $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

Теперь построим графики для каждого из заданных множеств.

1) действительных чисел

Область определения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$). Графиком является сплошная парабола, проходящая через вычисленные ключевые точки. Ось симметрии параболы — прямая $x=2$.

Ответ: Графиком функции на множестве действительных чисел является парабола с вершиной в точке (2, -1), ветвями, направленными вверх, пересекающая ось абсцисс в точках (1, 0) и (3, 0), и ось ординат в точке (0, 3).

2) действительных неотрицательных чисел

Область определения — неотрицательные действительные числа ($x \ge 0$). Графиком является та часть параболы из пункта 1, которая расположена в правой полуплоскости, включая ось ординат. График начинается в точке (0, 3) и уходит вправо и вверх.

Ответ: Графиком функции на множестве действительных неотрицательных чисел является часть параболы, которая начинается в точке (0, 3) и продолжается вправо, проходя через вершину (2, -1) и точки пересечения с осью абсцисс (1, 0) и (3, 0).

3) целых чисел

Область определения — все целые числа ($x \in \mathbb{Z}$). Графиком будет не сплошная линия, а набор отдельных (изолированных) точек, которые лежат на параболе из пункта 1. Координаты этих точек — $(x, f(x))$, где $x$ — целое число.
Например:
$f(-1) = (-1)^2 - 4(-1) + 3 = 8 \implies (-1, 8)$
$f(0) = 3 \implies (0, 3)$
$f(1) = 0 \implies (1, 0)$
$f(2) = -1 \implies (2, -1)$
$f(3) = 0 \implies (3, 0)$
$f(4) = 3 \implies (4, 3)$
$f(5) = 8 \implies (5, 8)$

Ответ: Графиком функции на множестве целых чисел является бесконечный набор изолированных точек, лежащих на параболе $y=x^2-4x+3$. Примеры точек: (..., (-1, 8), (0, 3), (1, 0), (2, -1), (3, 0), (4, 3), (5, 8), ...).

4) натуральных чисел

Область определения — натуральные числа ($x \in \mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$). Это подмножество целых чисел, поэтому график также будет состоять из изолированных точек, но только для $x \ge 1$.
Точки графика:
$f(1) = 0 \implies (1, 0)$
$f(2) = -1 \implies (2, -1)$
$f(3) = 0 \implies (3, 0)$
$f(4) = 3 \implies (4, 3)$
$f(5) = 8 \implies (5, 8)$
и так далее.

Ответ: Графиком функции на множестве натуральных чисел является бесконечный набор изолированных точек, лежащих на параболе $y=x^2-4x+3$ при $x \ge 1$. Примеры точек: ((1, 0), (2, -1), (3, 0), (4, 3), (5, 8), ...).

1.19. Решите предыдущую задачу для функции:

1) $y = 3x - 4$;

2) $y = |3x - 4|$;

3) $y = 2 + \frac{1}{x-1}$;

4) $y = |x^2 - 4x + 3|$.

Поскольку текст предыдущей задачи 1.18 не предоставлен, будем считать, что требуется провести полное исследование данных функций: найти область определения, нули, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности, точки экстремума, область значений и построить график.

1) $y = 3x - 4$

Это линейная функция, ее график — прямая линия.

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат:

- С осью OY (x=0): $y = 3(0) - 4 = -4$. Точка пересечения $(0; -4)$.

- С осью OX (y=0): $0 = 3x - 4 \implies 3x = 4 \implies x = 4/3$. Точка пересечения $(4/3; 0)$.

3. Промежутки знакопостоянства:

- $y > 0$ при $3x - 4 > 0 \implies x > 4/3$, то есть на интервале $(4/3; +\infty)$.

- $y < 0$ при $3x - 4 < 0 \implies x < 4/3$, то есть на интервале $(-\infty; 4/3)$.

4. Промежутки монотонности и экстремумы:

Найдем производную: $y' = (3x - 4)' = 3$.

Поскольку $y' = 3 > 0$ для всех $x$, функция возрастает на всей области определения. Точек экстремума нет.

5. Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

6. График функции:

Ответ: Область определения $(-\infty; +\infty)$, область значений $(-\infty; +\infty)$, нули функции $x=4/3$, функция возрастает на всей области определения, экстремумов нет.

2) $y = |3x - 4|$

График этой функции получается из графика $y = 3x - 4$ путем симметричного отражения относительно оси OX той части графика, которая лежит ниже этой оси.

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат:

- С осью OY (x=0): $y = |3(0) - 4| = |-4| = 4$. Точка пересечения $(0; 4)$.

- С осью OX (y=0): $0 = |3x - 4| \implies 3x - 4 = 0 \implies x = 4/3$. Точка пересечения $(4/3; 0)$.

3. Промежутки знакопостоянства:

По определению модуля, $y \ge 0$ для всех $x$.

$y > 0$ при $x \neq 4/3$, то есть на $(-\infty; 4/3) \cup (4/3; +\infty)$.

4. Промежутки монотонности и экстремумы:

Раскроем модуль: $y = \begin{cases} 3x - 4, & x \ge 4/3 \\ -(3x - 4), & x < 4/3 \end{cases} = \begin{cases} 3x - 4, & x \ge 4/3 \\ -3x + 4, & x < 4/3 \end{cases}$

$y' = \begin{cases} 3, & x > 4/3 \\ -3, & x < 4/3 \end{cases}$

- При $x > 4/3$ функция возрастает ($y' > 0$).

- При $x < 4/3$ функция убывает ($y' < 0$).

В точке $x = 4/3$ производная не существует. Так как в этой точке убывание сменяется возрастанием, $x = 4/3$ является точкой минимума. $y_{min} = y(4/3) = 0$.

5. Область значений: Минимальное значение функции равно 0, максимального нет. $E(y) = [0; +\infty)$.

6. График функции:

Ответ: Область определения $(-\infty; +\infty)$, область значений $[0; +\infty)$, нули функции $x=4/3$, функция убывает на $(-\infty; 4/3]$ и возрастает на $[4/3; +\infty)$, точка минимума $x=4/3$, $y_{min}=0$.

3) $y = 2 + \frac{1}{x-1}$

Это дробно-линейная функция, ее график — гипербола, смещенная на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх.

1. Область определения: Знаменатель не должен быть равен нулю: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$. $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Асимптоты:

- Вертикальная асимптота: $x=1$.

- Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} (2 + \frac{1}{x-1}) = 2$. $y=2$.

3. Точки пересечения с осями координат:

- С осью OY (x=0): $y = 2 + \frac{1}{0-1} = 2 - 1 = 1$. Точка пересечения $(0; 1)$.

- С осью OX (y=0): $0 = 2 + \frac{1}{x-1} \implies \frac{1}{x-1} = -2 \implies 1 = -2x+2 \implies 2x=1 \implies x=1/2$. Точка пересечения $(1/2; 0)$.

4. Промежутки монотонности и экстремумы:

Найдем производную: $y' = (2 + (x-1)^{-1})' = -(x-1)^{-2} = -\frac{1}{(x-1)^2}$.

Поскольку $(x-1)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y' < 0$ везде, где она определена. Функция убывает на каждом из интервалов $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$. Точек экстремума нет.

5. Область значений: Функция принимает все значения, кроме значения горизонтальной асимптоты. $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

6. График функции:

Ответ: Область определения $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$, область значений $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$, нули функции $x=1/2$, функция убывает на $(-\infty; 1)$ и на $(1; +\infty)$, экстремумов нет, асимптоты $x=1$ и $y=2$.

4) $y = |x^2 - 4x + 3|$

Сначала исследуем параболу $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Это парабола с ветвями вверх.

Нули: $x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x-1)(x-3)=0 \implies x_1=1, x_2=3$.

Вершина: $x_v = -b/(2a) = 4/2 = 2$. $y_v = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина в точке $(2; -1)$.

График $y=|x^2-4x+3|$ получается отражением части параболы, лежащей ниже оси OX (на интервале (1; 3)), симметрично относительно этой оси.

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат:

- С осью OY (x=0): $y = |0^2 - 4(0) + 3| = 3$. Точка пересечения $(0; 3)$.

- С осью OX (y=0): $|x^2 - 4x + 3| = 0 \implies x=1, x=3$. Точки пересечения $(1; 0)$ и $(3; 0)$.

3. Промежутки знакопостоянства: $y \ge 0$ для всех $x$. $y > 0$ при $x \notin \{1, 3\}$.

4. Промежутки монотонности и экстремумы:

Раскроем модуль: $y = \begin{cases} x^2 - 4x + 3, & x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty) \\ -x^2 + 4x - 3, & x \in (1, 3) \end{cases}$

$y' = \begin{cases} 2x - 4, & x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty) \\ -2x + 4, & x \in (1, 3) \end{cases}$

- На $(-\infty; 1)$: $y' = 2x - 4 < 0$, функция убывает.

- На $(1; 3)$: $y' = -2x+4$. $y'=0$ при $x=2$. На $(1, 2)$ $y'>0$ (возрастает), на $(2, 3)$ $y'<0$ (убывает).

- На $(3; \infty)$: $y' = 2x-4 > 0$, функция возрастает.

- Точки экстремума: $x=1$: минимум (убывание сменяется возрастанием), $y(1)=0$. $x=2$: максимум (возрастание сменяется убыванием), $y(2)=|2^2 - 8 + 3|=|-1|=1$. $x=3$: минимум (убывание сменяется возрастанием), $y(3)=0$.

5. Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

6. График функции:

Ответ: Область определения $(-\infty; +\infty)$, область значений $[0; +\infty)$, нули функции $x=1, x=3$, функция убывает на $(-\infty; 1] \cup [2; 3]$ и возрастает на $[1; 2] \cup [3; \infty)$, точки минимума $(1;0)$ и $(3;0)$, точка локального максимума $(2;1)$.

1.20. На множестве целых чисел дана функция:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - x + 1, & \text{если } |x| \le 2, \\ 1, & \text{если } |x| > 2. \end{cases}$

Найдите значения $f(-3)$, $f(-2)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$, $f(3)$.

Для нахождения значений функции $f(x)$ в указанных точках необходимо определить, какому из двух условий ($|x| \le 2$ или $|x| > 2$) удовлетворяет аргумент $x$, и затем применить соответствующую формулу.

f(-3)
Для аргумента $x = -3$, найдем его модуль: $|-3| = 3$.
Поскольку $3 > 2$, мы используем вторую формулу из определения функции: $f(x) = 1$.
Таким образом, $f(-3) = 1$.
Ответ: 1.

f(-2)
Для аргумента $x = -2$, найдем его модуль: $|-2| = 2$.
Поскольку $2 \le 2$, мы используем первую формулу: $f(x) = x^2 - x + 1$.
Подставляем $x = -2$ в выражение: $f(-2) = (-2)^2 - (-2) + 1 = 4 + 2 + 1 = 7$.
Ответ: 7.

f(0)
Для аргумента $x = 0$, найдем его модуль: $|0| = 0$.
Поскольку $0 \le 2$, мы используем первую формулу: $f(x) = x^2 - x + 1$.
Подставляем $x = 0$ в выражение: $f(0) = 0^2 - 0 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$.
Ответ: 1.

f(1)
Для аргумента $x = 1$, найдем его модуль: $|1| = 1$.
Поскольку $1 \le 2$, мы используем первую формулу: $f(x) = x^2 - x + 1$.
Подставляем $x = 1$ в выражение: $f(1) = 1^2 - 1 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$.
Ответ: 1.

f(2)
Для аргумента $x = 2$, найдем его модуль: $|2| = 2$.
Поскольку $2 \le 2$, мы используем первую формулу: $f(x) = x^2 - x + 1$.
Подставляем $x = 2$ в выражение: $f(2) = 2^2 - 2 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3$.
Ответ: 3.

f(3)
Для аргумента $x = 3$, найдем его модуль: $|3| = 3$.
Поскольку $3 > 2$, мы используем вторую формулу из определения функции: $f(x) = 1$.
Таким образом, $f(3) = 1$.
Ответ: 1.