Номер 0.7, страница 4 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.7. В какой координатной четверти находится радиус-вектор, определяющий угол:

1) $425^\circ$;

2) $-200^\circ$;

3) $\frac{7\pi}{4}$;

4) $-\frac{5\pi}{3}$?

1) 425°;
Для определения координатной четверти необходимо найти эквивалентный угол в пределах одного полного оборота, то есть в диапазоне от 0° до 360°. Поскольку положение радиус-вектора на окружности повторяется каждые 360°, мы можем отнять от 425° один полный оборот.
$425° - 360° = 65°$
Полученный угол 65° удовлетворяет неравенству $0° < 65° < 90°$. Этот диапазон углов соответствует первой координатной четверти.
Ответ: I четверть.

2) -200°;
Отрицательный угол означает, что отсчет ведется по часовой стрелке от положительного направления оси абсцисс. Чтобы найти соответствующий положительный угол, который определит то же положение радиус-вектора, нужно прибавить 360°.
$-200° + 360° = 160°$
Полученный угол 160° удовлетворяет неравенству $90° < 160° < 180°$. Этот диапазон углов соответствует второй координатной четверти.
Ответ: II четверть.

3) $\frac{7\pi}{4}$;
Угол задан в радианной мере. Границы координатных четвертей в радианах: I (от $0$ до $\frac{\pi}{2}$), II (от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$), III (от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$), IV (от $\frac{3\pi}{2}$ до $2\pi$).
Для определения четверти сравним данный угол с ее границами. Представим границы IV четверти со знаменателем 4: $\frac{3\pi}{2} = \frac{6\pi}{4}$ и $2\pi = \frac{8\pi}{4}$.
Так как выполняется двойное неравенство $\frac{6\pi}{4} < \frac{7\pi}{4} < \frac{8\pi}{4}$, что равносильно $\frac{3\pi}{2} < \frac{7\pi}{4} < 2\pi$, угол находится в четвертой координатной четверти.
Альтернативный способ — перевести радианы в градусы, зная, что $\pi \text{ рад} = 180°$:
$\frac{7\pi}{4} = \frac{7 \cdot 180°}{4} = 7 \cdot 45° = 315°$.
Угол 315° находится в диапазоне $270° < 315° < 360°$, что также соответствует IV четверти.
Ответ: IV четверть.

4) $-\frac{5\pi}{3}$?
Дан отрицательный угол в радианах. Для нахождения его положения найдем эквивалентный ему положительный угол, прибавив полный оборот в радианах, равный $2\pi$.
$-\frac{5\pi}{3} + 2\pi = -\frac{5\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$
Полученный угол $\frac{\pi}{3}$ удовлетворяет неравенству $0 < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$. Этот диапазон углов соответствует первой координатной четверти.
Альтернативный способ — перевести радианы в градусы:
$-\frac{5\pi}{3} = -\frac{5 \cdot 180°}{3} = -5 \cdot 60° = -300°$.
Теперь найдем эквивалентный положительный угол, прибавив 360°:
$-300° + 360° = 60°$.
Угол 60° находится в диапазоне $0° < 60° < 90°$, что также соответствует I четверти.
Ответ: I четверть.