Номер 0.3, страница 4 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.3. Постройте график уравнения:

1) $y = (x + 2)^2 - 3;$

2) $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 9;$

3) $y = \frac{2}{x}. $

1) Уравнение $y = (x + 2)^2 - 3$ задает параболу. Ее можно построить путем преобразования графика стандартной параболы $y = x^2$.

1. Базовый график — это парабола $y = x^2$.

2. $(x+2)^2$ означает сдвиг базового графика на 2 единицы влево вдоль оси $Ox$.

3. Выражение $(x+2)^2 - 3$ означает последующий сдвиг графика на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

Таким образом, вершина параболы смещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-2, -3)$. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент перед квадратичным членом положителен (равен 1).Ось симметрии параболы — прямая $x = -2$.

Найдем несколько контрольных точек для более точного построения:

• Вершина: $(-2, -3)$.
• Пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = (0+2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• Точка, симметричная точке $(0, 1)$ относительно оси $x=-2$, имеет абсциссу $x = -4$. При $x=-4$, $y = (-4+2)^2 - 3 = (-2)^2 - 3 = 1$. Точка $(-4, 1)$.
• При $x=-1$: $y = (-1+2)^2 - 3 = 1^2 - 3 = -2$. Точка $(-1, -2)$.
• При $x=-3$: $y = (-3+2)^2 - 3 = (-1)^2 - 3 = -2$. Точка $(-3, -2)$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола с вершиной в точке $(-2, -3)$ и ветвями, направленными вверх.

2) Уравнение $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 9$ является стандартным уравнением окружности вида $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

1. Сравнивая с общим видом, находим координаты центра окружности $(a, b)$. В данном случае $a = 1$ и $b = -3$. Таким образом, центр окружности находится в точке $(1, -3)$.

2. Правая часть уравнения равна квадрату радиуса: $R^2 = 9$. Следовательно, радиус окружности $R = \sqrt{9} = 3$.

Для построения графика нужно начертить окружность с центром в точке $(1, -3)$ и радиусом, равным 3.

Ответ: Графиком уравнения является окружность с центром в точке $(1, -3)$ и радиусом 3.

3) Уравнение $y = \frac{2}{x}$ задает гиперболу. Это функция обратной пропорциональности.

1. Область определения: $x \ne 0$. Область значений: $y \ne 0$. Это означает, что график не пересекает оси координат.

2. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами для графика.

3. Поскольку коэффициент $k=2$ положителен, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

Найдем несколько точек для построения каждой ветви:

• Для I четверти:
  • $x=0.5 \implies y=4$. Точка $(0.5, 4)$.
  • $x=1 \implies y=2$. Точка $(1, 2)$.
  • $x=2 \implies y=1$. Точка $(2, 1)$.
  • $x=4 \implies y=0.5$. Точка $(4, 0.5)$.
• Для III четверти (значения симметричны относительно начала координат):
  • $x=-0.5 \implies y=-4$. Точка $(-0.5, -4)$.
  • $x=-1 \implies y=-2$. Точка $(-1, -2)$.
  • $x=-2 \implies y=-1$. Точка $(-2, -1)$.
  • $x=-4 \implies y=-0.5$. Точка $(-4, -0.5)$.

Ответ: Графиком уравнения является гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях, асимптотами которой являются оси координат.