Номер 0.4, страница 4 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.4. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 3x - y = 1, \\ x + y = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y = 7, \\ xy = 12; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ x - y = 2. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x - y = 1, \\ x + y = 3. \end{cases} $

Для решения этой системы линейных уравнений воспользуемся методом алгебраического сложения. Сложим почленно левые и правые части уравнений, чтобы исключить переменную $y$:

$(3x - y) + (x + y) = 1 + 3$

$4x = 4$

$x = 1$

Теперь подставим найденное значение $x = 1$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:

$1 + y = 3$

$y = 3 - 1$

$y = 2$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(1; 2)$. Проверим, подставив значения в первое уравнение: $3 \cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1$. Верно.

Ответ: $(1; 2)$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 7, \\ xy = 12. \end{cases} $

Эта система является симметрической. Согласно обратной теореме Виета, переменные $x$ и $y$ можно рассматривать как корни квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставив значения из системы, получим уравнение:

$t^2 - 7t + 12 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно воспользоваться формулой для корней через дискриминант или снова применить теорему Виета. Сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Легко подобрать корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.

Это означает, что набор значений для $x$ и $y$ - это $\{3, 4\}$. Следовательно, система имеет два решения:

Первое решение: $x = 3, y = 4$.

Второе решение: $x = 4, y = 3$.

Ответ: $(3; 4), (4; 3)$.

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ x - y = 2. \end{cases} $

Для решения этой системы воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную $x$:

$x = y + 2$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$(y + 2)^2 + y^2 = 4$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(y^2 + 4y + 4) + y^2 = 4$

Приведем подобные слагаемые:

$2y^2 + 4y + 4 = 4$

$2y^2 + 4y = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $2y$ за скобки:

$2y(y + 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $y$:

$2y = 0 \implies y_1 = 0$

$y + 2 = 0 \implies y_2 = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя выражение $x = y + 2$:

Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 0 + 2 = 2$. Получаем решение $(2; 0)$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 + 2 = 0$. Получаем решение $(0; -2)$.

Ответ: $(2; 0), (0; -2)$.