Номер 1.28, страница 20 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.28. Докажите, что прямая $y = x - 12$ не пересекается с окружностью $x^2 + y^2 = 36$.

Чтобы доказать, что прямая $y = x - 12$ не пересекается с окружностью $x^2 + y^2 = 36$, можно пойти двумя путями: алгебраическим, решив систему уравнений, или геометрическим, сравнив расстояние от центра окружности до прямой с ее радиусом.

1. Алгебраический способ.

Найдем точки пересечения, решив систему уравнений:
$y = x - 12$
$x^2 + y^2 = 36$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$x^2 + (x - 12)^2 = 36$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + x^2 - 24x + 144 = 36$
$2x^2 - 24x + 144 - 36 = 0$
$2x^2 - 24x + 108 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:
$x^2 - 12x + 54 = 0$

Чтобы определить, есть ли у этого уравнения действительные решения, вычислим его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 54 = 144 - 216 = -72$

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это значит, что у прямой и окружности нет общих точек, то есть они не пересекаются.

2. Геометрический способ.

Уравнение окружности $x^2 + y^2 = 36$ — это уравнение окружности с центром в начале координат, точке $O(0, 0)$, и радиусом $R = \sqrt{36} = 6$.

Прямая и окружность не пересекаются, если расстояние от центра окружности до прямой больше, чем радиус.

Найдем расстояние $d$ от точки $O(0, 0)$ до прямой $y = x - 12$. Для этого приведем уравнение прямой к общему виду $Ax + By + C = 0$:
$x - y - 12 = 0$

Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Подставим координаты центра $x_0=0, y_0=0$ и коэффициенты прямой $A=1, B=-1, C=-12$:
$d = \frac{|1 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 - 12|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-12|}{\sqrt{1+1}} = \frac{12}{\sqrt{2}}$

Упростим выражение:
$d = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$

Теперь сравним расстояние $d$ с радиусом $R$:
$d = 6\sqrt{2}$, $R = 6$.
Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $6\sqrt{2} > 6$. Таким образом, $d > R$.

Так как расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, прямая и окружность не пересекаются.

Ответ: Утверждение доказано. Система уравнений прямой и окружности не имеет действительных решений (дискриминант равен $-72$), а расстояние от центра окружности до прямой ($6\sqrt{2}$) больше ее радиуса ($6$), следовательно, прямая и окружность не пересекаются.