Номер 1.31, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.31. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = 2x - 3$;

2) $g(x) = -3x + 2$;

3) $f(x) = |x|$;

4) $u(x) = |x - 2|$;

5) $h(x) = \frac{x^2}{2}$;

6) $r(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2.

1) f(x) = 2x - 3;

Данная функция является линейной функцией вида $y = kx + b$. В данном случае угловой коэффициент $k = 2$. Поскольку угловой коэффициент положителен ($k > 0$), функция является возрастающей на всей своей области определения. Область определения для любой линейной функции — это множество всех действительных чисел, то есть промежуток $(-\infty; +\infty)$.

Таким образом, функция возрастает на всём промежутке $(-\infty; +\infty)$ и не имеет промежутков убывания.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

2) g(x) = -3x + 2;

Это также линейная функция вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = -3$. Так как угловой коэффициент отрицателен ($k < 0$), функция является убывающей на всей своей области определения, которой является множество всех действительных чисел $(-\infty; +\infty)$.

Следовательно, функция убывает на всём промежутке $(-\infty; +\infty)$ и не имеет промежутков возрастания.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

3) f(x) = |x|;

Функция модуля определяется кусочно: $f(x) = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

1. На промежутке $(-\infty, 0)$ функция совпадает с $y = -x$. Это линейная функция с коэффициентом $k=-1 < 0$, следовательно, на этом промежутке функция убывает.

2. На промежутке $(0, +\infty)$ функция совпадает с $y = x$. Это линейная функция с коэффициентом $k=1 > 0$, следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

Точка $x=0$ является точкой минимума. Граничную точку принято включать в оба промежутка монотонности.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

4) u(x) = |x - 2|;

График этой функции получается из графика $y = |x|$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Функцию можно записать кусочно: $u(x) = \begin{cases} x-2, & \text{если } x \ge 2 \\ -(x-2), & \text{если } x < 2 \end{cases}$.

1. На промежутке $(-\infty, 2)$ функция равна $y = -x+2$. Коэффициент $k=-1 < 0$, значит, функция убывает.

2. На промежутке $(2, +\infty)$ функция равна $y = x-2$. Коэффициент $k=1 > 0$, значит, функция возрастает.

Точка $x=2$ является точкой минимума.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на промежутке $[2, +\infty)$.

5) h(x) = x²/2;

Это квадратичная функция $y = ax^2+bx+c$, где $a = 1/2$, $b=0$, $c=0$. Её график — парабола. Поскольку коэффициент $a = 1/2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_0 = -b/(2a) = 0$. Слева от вершины (при $x < 0$) парабола убывает, а справа от вершины (при $x > 0$) — возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

6) r(x) = -1/2*x² + 2;

Это квадратичная функция $y = ax^2+bx+c$, где $a = -1/2$, $b=0$, $c=2$. График — парабола. Поскольку коэффициент $a = -1/2 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_0 = -b/(2a) = 0$ и ординатой $y_0 = r(0) = 2$. Слева от вершины (при $x < 0$) парабола возрастает, а справа от вершины (при $x > 0$) — убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.