Номер 1.35, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.35. Найдите для функции $y = (x - 3)(x - 5)$ наибольшее и наименьшее значения на промежутке:

1) $[2; 3];$

2) $[3; 4];$

3) $[4; 5];$

4) $[2; 5].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = (x - 3)(x - 5)$ на заданных промежутках, сначала проанализируем саму функцию. Раскрыв скобки, получим $y = x^2 - 8x + 15$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Своё наименьшее значение функция достигает в вершине.

Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_v = -b/(2a)$. Для нашей функции $a=1, b=-8$, поэтому $x_v = -(-8) / (2 \cdot 1) = 4$.

Значение функции в вершине: $y(4) = (4 - 3)(4 - 5) = 1 \cdot (-1) = -1$.

Таким образом, точка минимума функции — $x=4$. На любом отрезке наибольшее и наименьшее значения достигаются либо в точке экстремума (если она принадлежит отрезку), либо на концах отрезка. Слева от точки $x=4$ функция убывает, а справа — возрастает.

1) На промежутке $[2; 3]$.

Точка минимума $x=4$ не принадлежит этому промежутку. На отрезке $[2; 3]$, который находится левее вершины, функция монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается на левом конце, а наименьшее — на правом.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(2) = (2 - 3)(2 - 5) = (-1)(-3) = 3$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(3) = (3 - 3)(3 - 5) = 0 \cdot (-2) = 0$.

Ответ: наибольшее значение 3, наименьшее значение 0.

2) На промежутке $[3; 4]$.

Точка минимума $x=4$ является правым концом этого промежутка. На отрезке $[3; 4]$ функция монотонно убывает. Наибольшее значение достигается на левом конце, а наименьшее — на правом.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(3) = (3 - 3)(3 - 5) = 0 \cdot (-2) = 0$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(4) = (4 - 3)(4 - 5) = 1 \cdot (-1) = -1$.

Ответ: наибольшее значение 0, наименьшее значение -1.

3) На промежутке $[4; 5]$.

Точка минимума $x=4$ является левым концом этого промежутка. На отрезке $[4; 5]$, который находится правее вершины, функция монотонно возрастает. Наименьшее значение достигается на левом конце, а наибольшее — на правом.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(4) = (4 - 3)(4 - 5) = 1 \cdot (-1) = -1$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(5) = (5 - 3)(5 - 5) = 2 \cdot 0 = 0$.

Ответ: наибольшее значение 0, наименьшее значение -1.

4) На промежутке $[2; 5]$.

Точка минимума $x=4$ принадлежит этому промежутку. Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке достигается в этой точке: $y_{наим} = y(4) = -1$.

Для нахождения наибольшего значения необходимо сравнить значения функции на концах отрезка.

$y(2) = (2 - 3)(2 - 5) = (-1)(-3) = 3$.

$y(5) = (5 - 3)(5 - 5) = 2 \cdot 0 = 0$.

Сравнивая значения $y(2)=3$ и $y(5)=0$, заключаем, что наибольшее значение равно 3.

Ответ: наибольшее значение 3, наименьшее значение -1.