Номер 1.34, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.34. Найдите экстремумы функции:

1) $y = (x - 1)^2 + 5;$

2) $y = 12x^2 - x - 1;$

3) $y = 3 - (x + 2)^2;$

4) $y = (x - 1)(x - 3).$

1) Дана функция $y = (x - 1)^2 + 5$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Уравнение представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины. В данном случае коэффициент при скобке $a=1$, $h=1$ и $k=5$.Поскольку $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что в вершине параболы функция достигает своего наименьшего значения (минимума).Координаты вершины параболы — $(1, 5)$.Следовательно, точка минимума функции $x_{min} = 1$, а минимальное значение функции (экстремум) $y_{min} = 5$.
Ответ: $y_{min} = 5$ при $x=1$.

2) Дана функция $y = 12x^2 - x - 1$. Это квадратичная функция, заданная в общем виде $y = ax^2 + bx + c$. Здесь коэффициенты $a=12$, $b=-1$, $c=-1$.Поскольку коэффициент $a=12 > 0$, ветви параболы направлены вверх, следовательно, функция имеет минимум в своей вершине.Абсциссу вершины параболы (точку экстремума) находим по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.$x_v = -\frac{-1}{2 \cdot 12} = \frac{1}{24}$.Для нахождения экстремума (минимального значения функции) подставим найденное значение $x$ в уравнение функции:$y_{min} = 12\left(\frac{1}{24}\right)^2 - \frac{1}{24} - 1 = 12 \cdot \frac{1}{576} - \frac{1}{24} - 1 = \frac{12}{576} - \frac{1}{24} - 1$.Сократим дробь $\frac{12}{576} = \frac{1}{48}$.$y_{min} = \frac{1}{48} - \frac{2}{48} - \frac{48}{48} = \frac{1 - 2 - 48}{48} = -\frac{49}{48}$.
Ответ: $y_{min} = -\frac{49}{48}$ при $x=\frac{1}{24}$.

3) Дана функция $y = 3 - (x + 2)^2$. Перепишем ее в стандартной вершинной форме $y = -(x - (-2))^2 + 3$.Это парабола с коэффициентом $a=-1$, и координатами вершины $(h, k) = (-2, 3)$.Поскольку $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что в вершине функция достигает своего наибольшего значения (максимума).Координаты вершины — $(-2, 3)$.Следовательно, точка максимума функции $x_{max} = -2$, а максимальное значение функции (экстремум) $y_{max} = 3$.
Ответ: $y_{max} = 3$ при $x=-2$.

4) Дана функция $y = (x - 1)(x - 3)$. Это квадратичная функция, заданная через свои корни $x_1=1$ и $x_2=3$. Раскроем скобки, чтобы получить общий вид:$y = x^2 - 3x - x + 3 = x^2 - 4x + 3$.Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх, и функция имеет минимум.Абсцисса вершины параболы находится посередине между корнями:$x_v = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.Теперь найдем минимальное значение функции (экстремум), подставив $x=2$ в исходное уравнение:$y_{min} = (2 - 1)(2 - 3) = 1 \cdot (-1) = -1$.
Ответ: $y_{min} = -1$ при $x=2$.