Номер 1.41, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.41. Найдите область определения, область значений, нули, точки разрыва (если они есть) и промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = x^2 + 2$;

2) $y = 3 - 4x^2$;

3) $y = 3x^2 - 6x + 1$;

4) $v(x) = \frac{|x|}{x}$;

5) $y = \frac{4 + 2x}{5 + x}$;

6) $y = \frac{6}{(x-1)(x+8)}$.

1) $y = x^2 + 2$

Область определения: Функция является многочленом (квадратичной функцией), поэтому она определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке, где $x=0$, $y = 0^2 + 2 = 2$. Это минимальное значение функции. $E(y) = [2; +\infty)$.
Нули: Чтобы найти нули, решим уравнение $y=0$: $x^2 + 2 = 0 \implies x^2 = -2$. Уравнение не имеет действительных корней, следовательно, нулей у функции нет.
Точки разрыва: Функция является многочленом, а многочлены непрерывны на всей числовой оси. Точек разрыва нет.
Промежутки знакопостоянства: Так как у функции нет нулей и она непрерывна, она сохраняет свой знак на всей области определения. Поскольку $y(0) = 2 > 0$, функция положительна при всех значениях $x$. $y > 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений: $E(y) = [2; +\infty)$; нулей нет; точек разрыва нет; функция положительна на всей области определения: $y > 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) $y = 3 - 4x^2$

Область определения: Функция является многочленом, определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: Графиком является парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен). Вершина находится в точке, где $x=0$, $y = 3 - 4(0)^2 = 3$. Это максимальное значение функции. $E(y) = (-\infty; 3]$.
Нули: Решим уравнение $y=0$: $3 - 4x^2 = 0 \implies 4x^2 = 3 \implies x^2 = \frac{3}{4} \implies x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Точки разрыва: Функция непрерывна на всей числовой оси. Точек разрыва нет.
Промежутки знакопостоянства: Нули функции $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ делят числовую ось на три интервала.

• При $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{2})$, например $x=-1$, $y = 3-4(-1)^2 = -1 < 0$.
• При $x \in (-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, например $x=0$, $y = 3-4(0)^2 = 3 > 0$.
• При $x \in (\frac{\sqrt{3}}{2}; +\infty)$, например $x=1$, $y = 3-4(1)^2 = -1 < 0$.

$y > 0$ при $x \in (-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{2}; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений: $E(y) = (-\infty; 3]$; нули: $x_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $x_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$; точек разрыва нет; $y > 0$ при $x \in (-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, $y < 0$ при $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{2}; +\infty)$.

3) $y = 3x^2 - 6x + 1$

Область определения: Многочлен, определен для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: Парабола с ветвями вверх. Координаты вершины: $x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = 1$; $y_v = 3(1)^2 - 6(1) + 1 = -2$. Минимальное значение функции равно -2. $E(y) = [-2; +\infty)$.
Нули: Решим уравнение $3x^2 - 6x + 1 = 0$ с помощью дискриминанта: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 36 - 12 = 24$. $x = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$.
Точки разрыва: Точек разрыва нет.
Промежутки знакопостоянства: Парабола с ветвями вверх, пересекает ось Ox в точках $x = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$ и $x = 1 + \frac{\sqrt{6}}{3}$. $y > 0$ (ветви выше оси) при $x \in (-\infty; 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}) \cup (1 + \frac{\sqrt{6}}{3}; +\infty)$. $y < 0$ (вершина ниже оси) при $x \in (1 - \frac{\sqrt{6}}{3}; 1 + \frac{\sqrt{6}}{3})$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений: $E(y) = [-2; +\infty)$; нули: $x = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$; точек разрыва нет; $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}) \cup (1 + \frac{\sqrt{6}}{3}; +\infty)$, $y < 0$ при $x \in (1 - \frac{\sqrt{6}}{3}; 1 + \frac{\sqrt{6}}{3})$.

4) $y(x) = \frac{|x|}{x}$

Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю, $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Область значений: Раскроем модуль: Если $x > 0$, то $y = \frac{x}{x} = 1$. Если $x < 0$, то $y = \frac{-x}{x} = -1$. Функция принимает только два значения. $E(y) = \{-1, 1\}$.
Нули: Функция не принимает значение 0. Нулей нет.
Точки разрыва: Функция не определена в точке $x=0$. Вычислим пределы слева и справа: $\lim_{x \to 0^-} y(x) = -1$, $\lim_{x \to 0^+} y(x) = 1$. Пределы конечны, но не равны. Точка $x=0$ является точкой разрыва первого рода (скачок).
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ (равна 1) при $x \in (0; +\infty)$. $y < 0$ (равна -1) при $x \in (-\infty; 0)$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; область значений: $E(y) = \{-1, 1\}$; нулей нет; точка разрыва: $x=0$ (разрыв первого рода); $y > 0$ при $x > 0$, $y < 0$ при $x < 0$.

5) $y = \frac{4+2x}{5+x}$

Область определения: Знаменатель $5+x \neq 0$, следовательно $x \neq -5$. $D(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.
Область значений: Это дробно-линейная функция. Найдем горизонтальную асимптоту: $\lim_{x \to \infty} \frac{4+2x}{5+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x(\frac{4}{x}+2)}{x(\frac{5}{x}+1)} = 2$. Функция не принимает значение $y=2$. $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
Нули: $y=0 \implies 4+2x = 0 \implies 2x = -4 \implies x = -2$.
Точки разрыва: Функция не определена в точке $x=-5$. Это точка разрыва. Так как при $x \to -5$ знаменатель стремится к нулю, а числитель к $4+2(-5)=-6 \neq 0$, то $x=-5$ - точка разрыва второго рода (бесконечный разрыв).
Промежутки знакопостоянства: Используем метод интервалов. Точки, делящие ось: нуль $x=-2$ и точка разрыва $x=-5$.

• Интервал $(-\infty; -5)$: возьмем $x=-6$, $y = \frac{4-12}{5-6} = 8 > 0$.
• Интервал $(-5; -2)$: возьмем $x=-3$, $y = \frac{4-6}{5-3} = -1 < 0$.
• Интервал $(-2; +\infty)$: возьмем $x=0$, $y = \frac{4}{5} > 0$.

$y > 0$ при $x \in (-\infty; -5) \cup (-2; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-5; -2)$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$; область значений: $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$; нуль: $x=-2$; точка разрыва: $x=-5$ (разрыв второго рода); $y > 0$ при $x \in (-\infty; -5) \cup (-2; +\infty)$, $y < 0$ при $x \in (-5; -2)$.

6) $y = \frac{6}{(x-1)(x+8)}$

Область определения: Знаменатель не равен нулю: $(x-1)(x+8) \neq 0$, откуда $x \neq 1$ и $x \neq -8$. $D(y) = (-\infty; -8) \cup (-8; 1) \cup (1; +\infty)$.
Область значений: Знаменатель $z(x) = x^2+7x-8$ - парабола с ветвями вверх. Ее минимальное значение в вершине $x_v = -7/2 = -3.5$, $z_{min} = (-3.5-1)(-3.5+8) = (-4.5)(4.5) = -20.25$. Тогда максимальное значение функции $y_{max} = \frac{6}{-20.25} = -\frac{6}{81/4} = -\frac{24}{81} = -\frac{8}{27}$. На интервалах $(-\infty; -8)$ и $(1; +\infty)$ знаменатель положителен, значит $y>0$. $E(y) = (-\infty; -8/27] \cup (0; +\infty)$.
Нули: Числитель равен 6 и никогда не равен нулю. Нулей нет.
Точки разрыва: $x=-8$ и $x=1$ - точки, где знаменатель обращается в ноль. Это точки разрыва второго рода.
Промежутки знакопостоянства: Точки разрыва $x=-8$ и $x=1$ делят числовую ось на интервалы. Знак функции определяется знаком знаменателя $(x-1)(x+8)$.

• Интервал $(-\infty; -8)$: $x=-10$, $(-)(-)=+$, $y > 0$.
• Интервал $(-8; 1)$: $x=0$, $(-)(+)=-$, $y < 0$.
• Интервал $(1; +\infty)$: $x=2$, $(+)(+)=+$, $y > 0$.

$y > 0$ при $x \in (-\infty; -8) \cup (1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-8; 1)$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; -8) \cup (-8; 1) \cup (1; +\infty)$; область значений: $E(y) = (-\infty; -8/27] \cup (0; +\infty)$; нулей нет; точки разрыва: $x=-8$, $x=1$ (разрывы второго рода); $y > 0$ при $x \in (-\infty; -8) \cup (1; +\infty)$, $y < 0$ при $x \in (-8; 1)$.