Номер 1.43, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.43. Определите, является ли функция возрастающей или убывающей:

1) $y = \frac{3}{x-1}$;

2) $y = \frac{x-1}{x+1}$;

3) $y = 2 + \frac{1}{x-2}$;

4) $y = 3 + \frac{x+1}{x+3}$.

Для определения, является ли функция возрастающей или убывающей, необходимо исследовать знак ее производной. Если производная $y'$ положительна на интервале, функция на этом интервале возрастает. Если производная отрицательна, функция убывает.

1) $y = \frac{3}{x-1}$

Найдем производную данной функции. Область определения функции: $x \neq 1$.

$y' = \left(\frac{3}{x-1}\right)' = (3(x-1)^{-1})' = 3 \cdot (-1)(x-1)^{-2} \cdot (x-1)' = -3(x-1)^{-2} = -\frac{3}{(x-1)^2}$.

Выражение $(x-1)^2$ всегда положительно для любого $x$ из области определения. Числитель $-3$ является отрицательным числом. Таким образом, производная $y' = -\frac{3}{(x-1)^2}$ всегда отрицательна ($y' < 0$) на всей своей области определения, то есть на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; \infty)$.

Следовательно, функция является убывающей.

Ответ: функция является убывающей.

2) $y = \frac{x-1}{x+1}$

Найдем производную функции. Область определения: $x \neq -1$. Для упрощения вычислений, преобразуем функцию, выделив целую часть:

$y = \frac{x+1-2}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{2}{x+1} = 1 - \frac{2}{x+1}$.

Теперь найдем производную:

$y' = \left(1 - \frac{2}{x+1}\right)' = (1 - 2(x+1)^{-1})' = 0 - 2 \cdot (-1)(x+1)^{-2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.

Знаменатель $(x+1)^2$ всегда положителен для любого $x \neq -1$. Числитель $2$ также положителен. Значит, производная $y' > 0$ на всей области определения, то есть на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(-1; \infty)$.

Следовательно, функция является возрастающей.

Ответ: функция является возрастающей.

3) $y = 2 + \frac{1}{x-2}$

Найдем производную функции. Область определения: $x \neq 2$.

$y' = \left(2 + \frac{1}{x-2}\right)' = (2 + (x-2)^{-1})' = 0 + (-1)(x-2)^{-2} = -\frac{1}{(x-2)^2}$.

Знаменатель $(x-2)^2$ всегда положителен при $x \neq 2$. Числитель $-1$ отрицателен. Таким образом, производная $y' < 0$ на всей области определения, то есть на интервалах $(-\infty; 2)$ и $(2; \infty)$.

Следовательно, функция является убывающей.

Ответ: функция является убывающей.

4) $y = 3 + \frac{x+1}{x+3}$

Найдем производную функции. Область определения: $x \neq -3$. Сначала преобразуем функцию:

$y = 3 + \frac{x+3-2}{x+3} = 3 + 1 - \frac{2}{x+3} = 4 - \frac{2}{x+3}$.

Теперь найдем производную:

$y' = \left(4 - \frac{2}{x+3}\right)' = (4 - 2(x+3)^{-1})' = 0 - 2 \cdot (-1)(x+3)^{-2} = \frac{2}{(x+3)^2}$.

Знаменатель $(x+3)^2$ всегда положителен при $x \neq -3$. Числитель $2$ положителен. Значит, производная $y' > 0$ на всей области определения, то есть на интервалах $(-\infty; -3)$ и $(-3; \infty)$.

Следовательно, функция является возрастающей.

Ответ: функция является возрастающей.