Номер 1.50, страница 31 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.50. Определите четность функции:

1) $y = (x + 3)|x - 1| + (x - 3)|x + 1|$

2) $y = (x + 5)|x - 3| - (x - 5)|x + 3|$

3) $y = \frac{|x - 7|}{x + 1} + \frac{|x + 7|}{x - 1}$

4) $y = \frac{|x - 4|}{x + 2} + \frac{|x + 4|}{x - 2}$

5) $f(x) = \frac{x^3 - 2x^2}{x + 1} - \frac{x^3 + 2x^2}{x - 1}$

6) $g(x) = \frac{(x - 1)^5}{(3x + 4)^3} - \frac{(x + 1)^5}{(3x - 4)^3}$

1) Для функции $y = (x + 3)|x - 1| + (x - 3)|x + 1|$

Область определения функции — все действительные числа ($D(y) = \mathbb{R}$), она симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для $-x$:

$y(-x) = (-x + 3)|-x - 1| + (-x - 3)|-x + 1|$

Учитывая, что $|-a| = |a|$, выражение можно упростить:

$y(-x) = (3 - x)|-(x+1)| + (-(x+3))|-(x-1)| = (3-x)|x+1| - (x+3)|x-1|$

Вынесем знак минус:

$y(-x) = -(x-3)|x+1| - (x+3)|x-1| = -((x+3)|x-1| + (x-3)|x+1|)$

Таким образом, $y(-x) = -y(x)$, следовательно, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

2) Для функции $y = (x + 5)|x - 3| - (x - 5)|x + 3|$

Область определения функции — все действительные числа ($D(y) = \mathbb{R}$), она симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для $-x$:

$y(-x) = (-x + 5)|-x - 3| - (-x - 5)|-x + 3|$

Учитывая, что $|-a| = |a|$, выражение можно упростить:

$y(-x) = (5 - x)|-(x+3)| - (-(x+5))|-(x-3)| = (5-x)|x+3| + (x+5)|x-3|$

Переставим слагаемые и преобразуем:

$y(-x) = (x+5)|x-3| + (5-x)|x+3| = (x+5)|x-3| - (x-5)|x+3|$

Таким образом, $y(-x) = y(x)$, следовательно, функция является четной.

Ответ: четная.

3) Для функции $y = \frac{|x - 7|}{x + 1} + \frac{|x + 7|}{x - 1}$

Область определения функции $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$, так как знаменатели не могут быть равны нулю ($x \neq \pm 1$). Эта область симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для $-x$:

$y(-x) = \frac{|-x - 7|}{-x + 1} + \frac{|-x + 7|}{-x - 1}$

Упростим выражение:

$y(-x) = \frac{|-(x + 7)|}{1 - x} + \frac{|-(x - 7)|}{-(x + 1)} = \frac{|x + 7|}{-(x - 1)} + \frac{|x - 7|}{-(x + 1)}$

$y(-x) = -\frac{|x + 7|}{x - 1} - \frac{|x - 7|}{x + 1}$

Вынесем знак минус за скобки:

$y(-x) = -\left(\frac{|x - 7|}{x + 1} + \frac{|x + 7|}{x - 1}\right)$

Таким образом, $y(-x) = -y(x)$, следовательно, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

4) Для функции $y = \frac{|x - 4|}{x + 2} + \frac{|x + 4|}{x - 2}$

Область определения функции $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$, так как знаменатели не могут быть равны нулю ($x \neq \pm 2$). Эта область симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для $-x$:

$y(-x) = \frac{|-x - 4|}{-x + 2} + \frac{|-x + 4|}{-x - 2}$

Упростим выражение:

$y(-x) = \frac{|-(x + 4)|}{2 - x} + \frac{|-(x - 4)|}{-(x + 2)} = \frac{|x + 4|}{-(x - 2)} + \frac{|x - 4|}{-(x + 2)}$

$y(-x) = -\frac{|x + 4|}{x - 2} - \frac{|x - 4|}{x + 2}$

Вынесем знак минус за скобки:

$y(-x) = -\left(\frac{|x - 4|}{x + 2} + \frac{|x + 4|}{x - 2}\right)$

Таким образом, $y(-x) = -y(x)$, следовательно, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

5) Для функции $f(x) = \frac{x^3 - 2x^2}{x + 1} - \frac{x^3 + 2x^2}{x - 1}$

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$, так как знаменатели не могут быть равны нулю ($x \neq \pm 1$). Эта область симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для $-x$:

$f(-x) = \frac{(-x)^3 - 2(-x)^2}{-x + 1} - \frac{(-x)^3 + 2(-x)^2}{-x - 1}$

Упростим выражение:

$f(-x) = \frac{-x^3 - 2x^2}{1 - x} - \frac{-x^3 + 2x^2}{-(x + 1)} = \frac{-(x^3 + 2x^2)}{-(x - 1)} + \frac{x^3 - 2x^2}{x + 1} = \frac{x^3 + 2x^2}{x - 1} - \frac{x^3 - 2x^2}{x + 1}$

Вынесем знак минус за скобки:

$f(-x) = -\left(-\frac{x^3 + 2x^2}{x - 1} + \frac{x^3 - 2x^2}{x + 1}\right) = - \left(\frac{x^3 - 2x^2}{x + 1} - \frac{x^3 + 2x^2}{x - 1}\right)$

Таким образом, $f(-x) = -f(x)$, следовательно, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

6) Для функции $g(x) = \frac{(x - 1)^5}{(3x + 4)^3} - \frac{(x + 1)^5}{(3x - 4)^3}$

Область определения функции $D(g) = \mathbb{R} \setminus \{-\frac{4}{3}, \frac{4}{3}\}$, так как знаменатели не могут быть равны нулю ($x \neq \pm \frac{4}{3}$). Эта область симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для $-x$:

$g(-x) = \frac{(-x - 1)^5}{(3(-x) + 4)^3} - \frac{(-x + 1)^5}{(3(-x) - 4)^3} = \frac{(-(x + 1))^5}{(-3x + 4)^3} - \frac{(-(x - 1))^5}{(-3x - 4)^3}$

Так как степени 5 и 3 нечетные, то $(-a)^n = -a^n$:

$g(-x) = \frac{-(x + 1)^5}{(-(3x - 4))^3} - \frac{-(x - 1)^5}{(-(3x + 4))^3} = \frac{-(x + 1)^5}{-(3x - 4)^3} - \frac{-(x - 1)^5}{-(3x + 4)^3}$

$g(-x) = \frac{(x + 1)^5}{(3x - 4)^3} - \frac{(x - 1)^5}{(3x + 4)^3}$

Вынесем знак минус за скобки:

$g(-x) = -\left(\frac{(x - 1)^5}{(3x + 4)^3} - \frac{(x + 1)^5}{(3x - 4)^3}\right)$

Таким образом, $g(-x) = -g(x)$, следовательно, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.