Номер 1.56, страница 32 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.56*. Известно, что функция $f(x)$ нечетная, причем:

1) $f(x) = x^2, x \geq 0;$

2) $f(x) = x^2, x \leq 0$

3) $f(x) = x^2 - 2x, x \geq 0;$

4) $f(x) = \sqrt{x}, x > 0.$

Задайте эту функцию одной формулой и постройте ее график.

Для решения задачи воспользуемся определением нечетной функции: функция $f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

1) Дано, что функция $f(x)$ нечетная и $f(x) = x^2$ при $x \ge 0$.

Найдем вид функции при $x < 0$. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$.
Из свойства нечетности $f(x) = -f(-x)$.
Так как $-x > 0$, для $f(-x)$ мы можем использовать заданную формулу: $f(-x) = (-x)^2 = x^2$.
Следовательно, при $x < 0$, имеем $f(x) = -x^2$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно:

$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \ge 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$

Для того чтобы задать эту функцию одной формулой, можно использовать функцию модуля $|x|$. Напомним, что $|x|=x$ при $x \ge 0$ и $|x|=-x$ при $x < 0$.
Рассмотрим выражение $x|x|$:
- при $x \ge 0$: $x|x| = x \cdot x = x^2$
- при $x < 0$: $x|x| = x \cdot (-x) = -x^2$
Это в точности совпадает с найденным нами выражением для $f(x)$.

График функции состоит из двух частей: ветви параболы $y=x^2$ для $x \ge 0$ и ветви параболы $y=-x^2$ для $x < 0$.

Ответ: $f(x) = x|x|$.

2) Дано, что функция $f(x)$ нечетная и $f(x) = x^2$ при $x \le 0$.

Найдем вид функции при $x > 0$. Пусть $x > 0$, тогда $-x < 0$.
Из свойства нечетности $f(x) = -f(-x)$.
Так как $-x < 0$, для $f(-x)$ мы можем использовать заданную формулу: $f(-x) = (-x)^2 = x^2$.
Следовательно, при $x > 0$, имеем $f(x) = -x^2$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно:

$f(x) = \begin{cases} -x^2, & x > 0 \\ x^2, & x \le 0 \end{cases}$

Для того чтобы задать эту функцию одной формулой, рассмотрим выражение $-x|x|$:
- при $x > 0$: $-x|x| = -x \cdot x = -x^2$
- при $x \le 0$: $-x|x| = -x \cdot (-x) = x^2$
Это в точности совпадает с найденным нами выражением для $f(x)$.

График функции состоит из двух частей: ветви параболы $y=x^2$ для $x \le 0$ и ветви параболы $y=-x^2$ для $x > 0$.

Ответ: $f(x) = -x|x|$.

3) Дано, что функция $f(x)$ нечетная и $f(x) = x^2 - 2x$ при $x \ge 0$.

Найдем вид функции при $x < 0$. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$.
Из свойства нечетности $f(x) = -f(-x)$.
Так как $-x > 0$, для $f(-x)$ мы можем использовать заданную формулу: $f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$.
Следовательно, при $x < 0$, имеем $f(x) = -(x^2 + 2x) = -x^2 - 2x$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x, & x \ge 0 \\ -x^2 - 2x, & x < 0 \end{cases}$

Для того чтобы задать эту функцию одной формулой, рассмотрим выражение $x|x| - 2x$:
- при $x \ge 0$: $x|x| - 2x = x \cdot x - 2x = x^2 - 2x$
- при $x < 0$: $x|x| - 2x = x \cdot (-x) - 2x = -x^2 - 2x$
Это в точности совпадает с найденным нами выражением для $f(x)$.

График функции при $x \ge 0$ является частью параболы $y=x^2-2x$ с вершиной в точке $(1, -1)$, а при $x < 0$ — частью параболы $y=-x^2-2x$ с вершиной в точке $(-1, 1)$.

Ответ: $f(x) = x|x| - 2x$.

4) Дано, что функция $f(x)$ нечетная и $f(x) = \sqrt{x}$ при $x > 0$.
Для нечетной функции должно выполняться $f(0) = -f(-0)$, что означает $f(0) = -f(0)$, откуда $2f(0)=0$ и $f(0)=0$. Мы можем доопределить функцию в точке $x=0$, так как $\sqrt{0}=0$. Таким образом, $f(x) = \sqrt{x}$ при $x \ge 0$.

Найдем вид функции при $x < 0$. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$.
Из свойства нечетности $f(x) = -f(-x)$.
Так как $-x > 0$, для $f(-x)$ мы можем использовать заданную формулу: $f(-x) = \sqrt{-x}$.
Следовательно, при $x < 0$, имеем $f(x) = -\sqrt{-x}$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно:

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & x \ge 0 \\ -\sqrt{-x}, & x < 0 \end{cases}$

Для того чтобы задать эту функцию одной формулой, можно использовать функцию знака $\text{sgn}(x)$, которая равна $1$ при $x>0$, $-1$ при $x<0$ и $0$ при $x=0$.
Рассмотрим выражение $\text{sgn}(x)\sqrt{|x|}$:
- при $x > 0$: $\text{sgn}(x)\sqrt{|x|} = 1 \cdot \sqrt{x} = \sqrt{x}$
- при $x < 0$: $\text{sgn}(x)\sqrt{|x|} = -1 \cdot \sqrt{-x} = -\sqrt{-x}$
- при $x = 0$: $\text{sgn}(0)\sqrt{|0|} = 0 \cdot 0 = 0$
Это в точности совпадает с найденным нами выражением для $f(x)$.

График функции при $x \ge 0$ является ветвью параболы, симметричной относительно оси $Ox$, $y=\sqrt{x}$, а при $x < 0$ — симметричной ей относительно начала координат ветвью $y=-\sqrt{-x}$.

Ответ: $f(x) = \text{sgn}(x)\sqrt{|x|}$.