Номер 1.60, страница 32 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.60*. $y = \begin{cases} \vert \vert \vert x \vert - 1 \vert - 1 \vert, & \text{если } \vert x \vert < 2, \\ \sqrt{\vert x \vert - 2}, & \text{если } x \ge 2. \end{cases}$

Для решения задачи проанализируем функцию $y(x)$, заданную кусочно:

$y = \begin{cases} |||x| - 1| - 1|, & \text{если } |x| < 2, \\ \sqrt{|x| - 2}, & \text{если } x \ge 2. \end{cases}$

1. Определение области определения функции

Функция определена на двух участках.
Первый участок задан условием $|x| < 2$, что эквивалентно двойному неравенству $-2 < x < 2$. Это интервал $(-2, 2)$.
Второй участок задан условием $x \ge 2$. Это луч $[2, \infty)$.
Областью определения $D(y)$ всей функции является объединение этих двух множеств: $D(y) = (-2, 2) \cup [2, \infty) = (-2, \infty)$.

2. Анализ первого участка: $y = |||x| - 1| - 1|$ при $|x| < 2$

Выражение на этом участке зависит от $|x|$, что делает функцию четной ($y(-x) = y(x)$). Ее график симметричен относительно оси ординат OY. Поэтому достаточно исследовать функцию на промежутке $[0, 2)$ и затем симметрично отразить результат для промежутка $(-2, 0)$.
При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = ||x - 1| - 1|$.
Раскроем модули последовательно:
а) Для $x \in [0, 1)$, выражение $x - 1$ отрицательно, поэтому $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$.
Тогда $y = |(1 - x) - 1| = |-x|$. Так как $x \ge 0$, $|-x| = x$. Итак, $y=x$ на $[0, 1)$.
б) Для $x \in [1, 2)$, выражение $x - 1$ неотрицательно, поэтому $|x - 1| = x - 1$.
Тогда $y = |(x - 1) - 1| = |x - 2|$. Так как на интервале $[1, 2)$ выражение $x - 2$ отрицательно, $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$. Итак, $y=2-x$ на $[1, 2)$.
Таким образом, для $x \in [0, 2)$ функция имеет вид:$y = \begin{cases} x, & \text{если } 0 \le x < 1 \\ 2-x, & \text{если } 1 \le x < 2 \end{cases}$
Используя свойство четности, найдем вид функции для $x \in (-2, 0)$. График на этом промежутке будет зеркальным отражением графика для $x \in (0, 2)$ относительно оси OY.
Для $x \in (-1, 0)$ будет $y = -x$.
Для $x \in (-2, -1]$ будет $y = 2 - (-x) = 2 + x$.
Полное выражение для первого участка:$y = \begin{cases} x+2, & \text{если } -2 < x < -1 \\ -x, & \text{если } -1 \le x < 0 \\ x, & \text{если } 0 \le x < 1 \\ 2-x, & \text{если } 1 \le x < 2 \end{cases}$

3. Анализ второго участка: $y = \sqrt{|x| - 2}$ при $x \ge 2$

На этом участке $x \ge 2$, следовательно, $x$ положителен, и $|x| = x$.
Функция упрощается до $y = \sqrt{x - 2}$.
График этой функции — верхняя ветвь параболы $y^2 = x - 2$, что является графиком функции $y = \sqrt{x}$, смещенным на 2 единицы вправо по оси OX.

4. Итоговая функция и построение графика

Объединяя все части, получаем итоговое выражение для функции на всей области определения:$y = \begin{cases} x+2, & \text{если } -2 < x < -1 \\ -x, & \text{если } -1 \le x < 0 \\ x, & \text{если } 0 \le x < 1 \\ 2-x, & \text{если } 1 \le x < 2 \\ \sqrt{x-2}, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$
Проверим непрерывность функции в точке "склейки" $x=2$.
Предел слева: $\lim_{x \to 2^-} y = \lim_{x \to 2^-} (2-x) = 0$.
Значение в точке: $y(2) = \sqrt{2-2} = 0$.
Так как предел слева равен значению функции в точке, функция непрерывна в $x=2$.
График функции состоит из четырех отрезков прямых и ветви параболы.

Ответ: Итоговая функция определена на промежутке $(-2, \infty)$ и задается выражением:

$y = \begin{cases} x+2, & \text{если } -2 < x < -1 \\ -x, & \text{если } -1 \le x < 0 \\ x, & \text{если } 0 \le x < 1 \\ 2-x, & \text{если } 1 \le x < 2 \\ \sqrt{x-2}, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

График функции изображен на рисунке выше. Функция непрерывна на всей своей области определения. Она имеет две точки локального максимума $(-1, 1)$ и $(1, 1)$, и одну точку локального минимума $(0, 0)$.