Номер 1.63, страница 35 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.63. 1) $f(x) = x^2 - 4x + 3$;

2) $f(x) = 2x^2 - 4x - 6$;

3) $f(x) = 9 - x^2$;

4) $f(x) = 2 - 3x^2 + x$.

1) $f(x) = x^2 - 4x + 3$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где коэффициенты $a=1$, $b=-4$, $c=3$. Графиком является парабола.

1. Направление ветвей параболы.

Так как старший коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины параболы.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

$x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.

Ордината вершины $y_v$ находится подстановкой $x_v$ в уравнение функции:

$y_v = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, -1)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=2$.

3. Нули функции (точки пересечения с осью Ox).

Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение $f(x) = 0$:

$x^2 - 4x + 3 = 0$.

Используем теорему Виета: сумма корней равна $4$, произведение корней равно $3$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Либо через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2}{2}$.

$x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1$, $x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$.

Точки пересечения с осью Ox: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Точка пересечения с осью Oy.

Для нахождения точки пересечения с осью Oy подставим $x=0$ в уравнение функции:

$f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, 3)$.

5. Промежутки возрастания и убывания, область значений.

Так как ветви параболы направлены вверх, функция убывает до вершины и возрастает после нее.

Промежуток убывания: $(-\infty, 2]$.

Промежуток возрастания: $[2, \infty)$.

Минимальное значение функции достигается в вершине и равно $y_v = -1$.

Область значений функции: $E(f) = [-1, +\infty)$.

Ответ:

Для функции $f(x) = x^2 - 4x + 3$: вершина параболы находится в точке $(2, -1)$, ветви направлены вверх. Нули функции: $x=1$ и $x=3$. Пересечение с осью Oy в точке $(0, 3)$. Функция убывает на $(-\infty, 2]$ и возрастает на $[2, +\infty)$. Область значений: $[-1, +\infty)$.

2) $f(x) = 2x^2 - 4x - 6$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=2$, $b=-4$, $c=-6$. Графиком является парабола.

1. Направление ветвей параболы.

Так как $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины параболы.

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

$y_v = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) - 6 = 2 - 4 - 6 = -8$.

Вершина параболы: $(1, -8)$. Ось симметрии: $x=1$.

3. Нули функции (точки пересечения с осью Ox).

Решим уравнение $2x^2 - 4x - 6 = 0$. Разделим обе части на 2 для упрощения: $x^2 - 2x - 3 = 0$.

По теореме Виета: сумма корней равна $2$, произведение равно $-3$. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Точки пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Точка пересечения с осью Oy.

$f(0) = 2(0)^2 - 4(0) - 6 = -6$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, -6)$.

5. Промежутки возрастания и убывания, область значений.

Ветви направлены вверх, значит функция убывает на $(-\infty, 1]$ и возрастает на $[1, \infty)$.

Минимальное значение функции: $y_{min} = y_v = -8$.

Область значений функции: $E(f) = [-8, +\infty)$.

Ответ:

Для функции $f(x) = 2x^2 - 4x - 6$: вершина параболы находится в точке $(1, -8)$, ветви направлены вверх. Нули функции: $x=-1$ и $x=3$. Пересечение с осью Oy в точке $(0, -6)$. Функция убывает на $(-\infty, 1]$ и возрастает на $[1, +\infty)$. Область значений: $[-8, +\infty)$.

3) $f(x) = 9 - x^2$

Это квадратичная функция. Запишем ее в стандартном виде $f(x) = -x^2 + 0x + 9$. Коэффициенты: $a=-1$, $b=0$, $c=9$. Графиком является парабола.

1. Направление ветвей параболы.

Так как $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины параболы.

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.

$y_v = f(0) = 9 - 0^2 = 9$.

Вершина параболы: $(0, 9)$. Ось симметрии: $x=0$ (ось Oy).

3. Нули функции (точки пересечения с осью Ox).

Решим уравнение $9 - x^2 = 0$.

$x^2 = 9$, откуда $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.

Точки пересечения с осью Ox: $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Точка пересечения с осью Oy.

$f(0) = 9 - 0^2 = 9$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, 9)$, что совпадает с вершиной.

5. Промежутки возрастания и убывания, область значений.

Ветви направлены вниз, значит функция возрастает до вершины и убывает после нее.

Промежуток возрастания: $(-\infty, 0]$.

Промежуток убывания: $[0, \infty)$.

Максимальное значение функции: $y_{max} = y_v = 9$.

Область значений функции: $E(f) = (-\infty, 9]$.

Ответ:

Для функции $f(x) = 9 - x^2$: вершина параболы находится в точке $(0, 9)$, ветви направлены вниз. Нули функции: $x=-3$ и $x=3$. Пересечение с осью Oy в точке $(0, 9)$. Функция возрастает на $(-\infty, 0]$ и убывает на $[0, \infty)$. Область значений: $(-\infty, 9]$.

4) $f(x) = 2 - 3x^2 + x$

Запишем функцию в стандартном виде: $f(x) = -3x^2 + x + 2$. Коэффициенты: $a=-3$, $b=1$, $c=2$. Графиком является парабола.

1. Направление ветвей параболы.

Так как $a=-3 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины параболы.

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-3)} = \frac{1}{6}$.

$y_v = f(\frac{1}{6}) = -3(\frac{1}{6})^2 + \frac{1}{6} + 2 = -3(\frac{1}{36}) + \frac{1}{6} + 2 = -\frac{1}{12} + \frac{2}{12} + \frac{24}{12} = \frac{25}{12}$.

Вершина параболы: $(\frac{1}{6}, \frac{25}{12})$. Ось симметрии: $x=\frac{1}{6}$.

3. Нули функции (точки пересечения с осью Ox).

Решим уравнение $-3x^2 + x + 2 = 0$. Умножим на -1: $3x^2 - x - 2 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm 5}{6}$.

$x_1 = \frac{1 - 5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.

$x_2 = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Точки пересечения с осью Ox: $(-\frac{2}{3}, 0)$ и $(1, 0)$.

4. Точка пересечения с осью Oy.

$f(0) = -3(0)^2 + 0 + 2 = 2$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, 2)$.

5. Промежутки возрастания и убывания, область значений.

Ветви направлены вниз, значит функция возрастает на $(-\infty, \frac{1}{6}]$ и убывает на $[\frac{1}{6}, \infty)$.

Максимальное значение функции: $y_{max} = y_v = \frac{25}{12}$.

Область значений функции: $E(f) = (-\infty, \frac{25}{12}]$.

Ответ:

Для функции $f(x) = -3x^2 + x + 2$: вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{6}, \frac{25}{12})$, ветви направлены вниз. Нули функции: $x=-\frac{2}{3}$ и $x=1$. Пересечение с осью Oy в точке $(0, 2)$. Функция возрастает на $(-\infty, \frac{1}{6}]$ и убывает на $[\frac{1}{6}, \infty)$. Область значений: $(-\infty, \frac{25}{12}]$.