Страница 35 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. По какой схеме проводят исследование функции? Поясните смысл каждого из указанных пунктов.

2. Какие функции называются четными, какие — нечетными, а какие — функцией общего вида?

3. Какие функции называются периодическими?

4. Какие точки называются точками максимума и минимума (экстремума)?

5. Как иначе можно определить точки экстремума функции, не имеющей точек разрыва?

6. Насколько важно в предыдущем пункте условие «функции, не имеющей точек разрыва»? Приведите пример.

1. По какой схеме проводят исследование функции? Поясните смысл каждого из указанных пунктов.
Исследование функции проводят по стандартной схеме, которая позволяет получить полное представление о поведении функции и построить ее график. Схема включает следующие пункты:

1. Нахождение области определения функции ($D(f)$).
Смысл: Определить все значения аргумента $x$, при которых функция имеет смысл (определена). Это помогает понять, где график функции существует, а где его нет. Например, для функции $y=1/x$ область определения — все числа, кроме $x=0$.

2. Исследование на четность, нечетность и периодичность.
Смысл: Эти свойства позволяют упростить исследование и построение графика. Четная функция ($f(-x) = f(x)$) симметрична относительно оси OY, нечетная ($f(-x) = -f(x)$) — относительно начала координат. Периодичность ($f(x+T) = f(x)$) означает, что достаточно исследовать функцию на одном периоде.

3. Нахождение точек пересечения графика с осями координат.
Смысл: Найти "опорные" точки графика. Пересечение с осью OY находится при $x=0$ (точка $(0, f(0))$). Пересечения с осью OX (нули функции) находятся решением уравнения $f(x)=0$.

4. Нахождение промежутков знакопостоянства.
Смысл: Определить, на каких интервалах функция принимает положительные значения ($f(x) > 0$), а на каких — отрицательные ($f(x) < 0$). Это показывает, где график расположен выше, а где ниже оси OX.

5. Нахождение асимптот графика функции.
Смысл: Асимптоты — это прямые, к которым график функции неограниченно приближается. Они показывают поведение функции на бесконечности или вблизи точек разрыва. Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

6. Нахождение промежутков возрастания и убывания, точек экстремума.
Смысл: С помощью первой производной ($f'(x)$) определяют, где функция возрастает ($f'(x)>0$) и где убывает ($f'(x)<0$). Точки, в которых производная равна нулю или не существует, и в которых меняется характер монотонности, являются точками экстремума (максимума или минимума).

7. Нахождение промежутков выпуклости (вверх) и вогнутости (вниз), точек перегиба.
Смысл: С помощью второй производной ($f''(x)$) определяют направление изгиба графика. Где $f''(x)<0$, график выпуклый (выпуклый вверх), где $f''(x)>0$ — вогнутый (выпуклый вниз). Точки, в которых направление изгиба меняется, называются точками перегиба.

8. Построение графика.
Смысл: На основе всей полученной информации строится эскиз графика функции. На координатную плоскость наносят асимптоты, точки пересечения с осями, точки экстремумов и перегибов, а затем соединяют их, учитывая монотонность и выпуклость.

Ответ: Исследование функции — это последовательное изучение ее свойств (область определения, четность, пересечение с осями, знакопостоянство, асимптоты, монотонность, экстремумы, выпуклость) для полного понимания ее поведения и построения графика.

2. Какие функции называются четными, какие - нечетными, а какие - функцией общего вида?
Классификация функций по признаку четности основана на их поведении при изменении знака аргумента. Для этого область определения функции должна быть симметричной относительно нуля.

Четная функция — это функция $y=f(x)$, у которой для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (OY).
Пример: $f(x)=x^2$, так как $f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$.

Нечетная функция — это функция $y=f(x)$, у которой для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки (0,0)).
Пример: $f(x)=x^3$, так как $f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$.

Функция общего вида — это функция, которая не является ни четной, ни нечетной. То есть, для нее не выполняется ни одно из указанных выше равенств, либо ее область определения не симметрична относительно нуля.
Пример: $f(x) = x+1$, так как $f(-x)=-x+1$, что не равно ни $f(x)$, ни $-f(x)$.

Ответ: Четная функция удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$, нечетная — $f(-x) = -f(x)$, а функция общего вида не удовлетворяет ни одному из этих условий.

3. Какие функции называются периодическими?
Функция $y = f(x)$ называется периодической, если существует такое отличное от нуля число $T$, называемое периодом функции, что для любого $x$ из области определения функции выполняются два условия:
1. Числа $x+T$ и $x-T$ также принадлежат области определения.
2. Выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Если у функции есть период $T$, то числа $2T, 3T, -T, -2T, ...$ также являются ее периодами. Наименьший положительный период функции называется ее основным периодом. График периодической функции состоит из бесконечно повторяющихся на протяжении всей оси OX одинаковых фрагментов, длина каждого из которых равна основному периоду.
Классическими примерами периодических функций являются тригонометрические функции: $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$ с основным периодом $2\pi$, а также $y = \tan(x)$ и $y = \cot(x)$ с основным периодом $\pi$.

Ответ: Периодическими называются функции, значения которых регулярно повторяются через определенный интервал (период), то есть $f(x+T) = f(x)$ для некоторого $T \ne 0$.

4. Какие точки называются точками максимума и минимума (экстремума)?
Точки максимума и минимума — это точки локального экстремума функции.

Точка максимума. Точка $x_0$ из области определения функции $f(x)$ называется точкой локального максимума, если существует такая окрестность точки $x_0$ (то есть интервал $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ при некотором $\delta > 0$), что для всех $x$ из этой окрестности, отличных от $x_0$, выполняется неравенство $f(x) < f(x_0)$. Значение $y_0 = f(x_0)$ называется локальным максимумом.

Точка минимума. Точка $x_0$ из области определения функции $f(x)$ называется точкой локального минимума, если существует такая окрестность точки $x_0$, что для всех $x$ из этой окрестности, отличных от $x_0$, выполняется неравенство $f(x) > f(x_0)$. Значение $y_0 = f(x_0)$ называется локальным минимумом.

Точки максимума и минимума объединяются общим названием — точки экстремума.

Ответ: Точка максимума — это точка, в которой значение функции больше, чем в любой другой точке из некоторой ее окрестности. Точка минимума — это точка, в которой значение функции меньше, чем в любой другой точке из некоторой ее окрестности. Вместе они называются точками экстремума.

5. Как иначе можно определить точки экстремума функции, не имеющей точек разрыва?
Для непрерывной функции точки экстремума можно находить с помощью производной. Этот метод основан на теореме Ферма, согласно которой, если в точке $x_0$ дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю: $f'(x_0) = 0$.

Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками. Для непрерывной функции экстремумы могут быть только в критических точках.

Алгоритм поиска экстремумов:
1. Найти производную функции $f'(x)$.
2. Найти критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$ и определив точки, где $f'(x)$ не существует.
3. Исследовать знак производной в интервалах, на которые критические точки делят область определения. Для этого используется один из двух признаков (тестов):
- Первый достаточный признак экстремума: Если при переходе через критическую точку $x_0$ производная $f'(x)$ меняет знак с «+» на «−», то $x_0$ — точка максимума. Если знак меняется с «−» на «+», то $x_0$ — точка минимума. Если знак не меняется, то в точке $x_0$ экстремума нет.
- Второй достаточный признак экстремума: Если $f'(x_0) = 0$ и вторая производная в этой точке $f''(x_0)$ существует и не равна нулю, то: если $f''(x_0) < 0$, то $x_0$ — точка максимума; если $f''(x_0) > 0$, то $x_0$ — точка минимума. Если $f''(x_0) = 0$, тест не дает ответа.

Ответ: Для непрерывной функции точки экстремума можно определить, найдя ее критические точки (где производная равна нулю или не существует) и затем проверив, меняет ли производная знак при переходе через эти точки.

6. Насколько важно в предыдущем пункте условие «функции, не имеющей точек разрыва»? Приведите пример.
Условие непрерывности функции является крайне важным. Методы поиска экстремумов с помощью производной, описанные в предыдущем пункте, основаны на свойствах непрерывных и дифференцируемых функций. Если функция имеет точки разрыва, она может иметь в них экстремум, который не будет обнаружен с помощью анализа производной.

В точке разрыва производная либо не существует, либо ее значение (если рассматривать односторонние производные) не дает полной информации о поведении функции. Экстремум в точке разрыва может существовать даже если производная нигде не обращается в ноль.

Пример:
Рассмотрим функцию, заданную кусочно:
$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \ne 0 \\ -1, & x = 0 \end{cases}$

Эта функция имеет разрыв в точке $x=0$. Значение функции в этой точке $f(0) = -1$.
В любой сколь угодно малой окрестности точки $x=0$ (например, на интервале $(-0.1, 0.1)$) для всех $x \ne 0$ значение функции будет $f(x)=x^2 > 0$. Таким образом, $f(x) > -1 = f(0)$ для всех $x$ из этой окрестности. По определению, точка $x=0$ является точкой локального минимума.

Однако, если мы попытаемся применить метод из предыдущего пункта, мы найдем производную $f'(x) = 2x$ для всех $x \ne 0$. Уравнение $f'(x)=0$ дает $2x=0 \implies x=0$. Но в самой точке $x=0$ производная не существует, так как функция в ней разрывна. Стандартный анализ знаков производной ($f'(x)<0$ при $x<0$ и $f'(x)>0$ при $x>0$) применим к непрерывной функции $y=x^2$, но для нашей разрывной функции $f(x)$ он не учитывает "выколотую" точку и ее особое значение.

График этой функции наглядно иллюстрирует ситуацию:
Таким образом, для поиска всех экстремумов функции необходимо отдельно исследовать точки разрыва, сравнивая значение функции в них со значениями в их окрестности.

Ответ: Условие непрерывности критически важно, так как у разрывной функции могут быть экстремумы в точках разрыва, которые не находятся стандартными методами через производную.

В заданиях 1.62 – 1.69 постройте графики указанных функций:

1.62.

1) $f(x) = 2x - 5$;

2) $f(x) = 3 - 0.5x$;

3) $f(x) = 3x + 4$;

4) $f(x) = \frac{x}{2} + 2$.

Все указанные функции являются линейными, их общий вид $y = kx + b$. Графиком линейной функции является прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

Это линейная функция с угловым коэффициентом $k=2$ и смещением $b=-5$. Для построения графика найдем координаты двух точек. Удобно найти точки пересечения с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью $Oy$). Для этого примем $x=0$:
$f(0) = 2 \cdot 0 - 5 = -5$.
Получаем точку A с координатами $(0, -5)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью $Ox$). Для этого примем $f(x)=0$:
$0 = 2x - 5$
$2x = 5$
$x = 2,5$.
Получаем точку B с координатами $(2,5; 0)$.

Теперь построим прямую, проходящую через точки A(0, -5) и B(2,5; 0).

Ответ: График функции $f(x) = 2x - 5$ представлен ниже.

Это линейная функция $f(x) = -0,5x + 3$ с угловым коэффициентом $k=-0,5$ и смещением $b=3$.

1. Найдем точку пересечения с осью $Oy$ (при $x=0$):
$f(0) = 3 - 0,5 \cdot 0 = 3$.
Точка A(0, 3).

2. Найдем точку пересечения с осью $Ox$ (при $f(x)=0$):
$0 = 3 - 0,5x$
$0,5x = 3$
$x = 6$.
Точка B(6, 0).

Построим прямую, проходящую через точки A(0, 3) и B(6, 0).

Ответ: График функции $f(x) = 3 - 0,5x$ представлен ниже.

Это линейная функция с угловым коэффициентом $k=3$ и смещением $b=4$.

1. Найдем точку пересечения с осью $Oy$ (при $x=0$):
$f(0) = 3 \cdot 0 + 4 = 4$.
Точка A(0, 4).

2. Найдем точку пересечения с осью $Ox$ (при $f(x)=0$):
$0 = 3x + 4$
$3x = -4$
$x = -4/3 \approx -1,33$.
Точка B(-4/3, 0).

Построим прямую, проходящую через точки A(0, 4) и B(-4/3, 0).

Ответ: График функции $f(x) = 3x + 4$ представлен ниже.

Это линейная функция $f(x) = 0,5x + 2$ с угловым коэффициентом $k=0,5$ и смещением $b=2$.

1. Найдем точку пересечения с осью $Oy$ (при $x=0$):
$f(0) = 0/2 + 2 = 2$.
Точка A(0, 2).

2. Найдем точку пересечения с осью $Ox$ (при $f(x)=0$):
$0 = x/2 + 2$
$x/2 = -2$
$x = -4$.
Точка B(-4, 0).

Построим прямую, проходящую через точки A(0, 2) и B(-4, 0).

Ответ: График функции $f(x) = x/2 + 2$ представлен ниже.

1.63. 1) $f(x) = x^2 - 4x + 3$;

2) $f(x) = 2x^2 - 4x - 6$;

3) $f(x) = 9 - x^2$;

4) $f(x) = 2 - 3x^2 + x$.

1) $f(x) = x^2 - 4x + 3$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где коэффициенты $a=1$, $b=-4$, $c=3$. Графиком является парабола.

1. Направление ветвей параболы.

Так как старший коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины параболы.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

$x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.

Ордината вершины $y_v$ находится подстановкой $x_v$ в уравнение функции:

$y_v = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, -1)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=2$.

3. Нули функции (точки пересечения с осью Ox).

Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение $f(x) = 0$:

$x^2 - 4x + 3 = 0$.

Используем теорему Виета: сумма корней равна $4$, произведение корней равно $3$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Либо через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2}{2}$.

$x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1$, $x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$.

Точки пересечения с осью Ox: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Точка пересечения с осью Oy.

Для нахождения точки пересечения с осью Oy подставим $x=0$ в уравнение функции:

$f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, 3)$.

5. Промежутки возрастания и убывания, область значений.

Так как ветви параболы направлены вверх, функция убывает до вершины и возрастает после нее.

Промежуток убывания: $(-\infty, 2]$.

Промежуток возрастания: $[2, \infty)$.

Минимальное значение функции достигается в вершине и равно $y_v = -1$.

Область значений функции: $E(f) = [-1, +\infty)$.

Ответ:

Для функции $f(x) = x^2 - 4x + 3$: вершина параболы находится в точке $(2, -1)$, ветви направлены вверх. Нули функции: $x=1$ и $x=3$. Пересечение с осью Oy в точке $(0, 3)$. Функция убывает на $(-\infty, 2]$ и возрастает на $[2, +\infty)$. Область значений: $[-1, +\infty)$.

2) $f(x) = 2x^2 - 4x - 6$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=2$, $b=-4$, $c=-6$. Графиком является парабола.

1. Направление ветвей параболы.

Так как $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины параболы.

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

$y_v = f(1) = 2(1)^2 - 4(1) - 6 = 2 - 4 - 6 = -8$.

Вершина параболы: $(1, -8)$. Ось симметрии: $x=1$.

3. Нули функции (точки пересечения с осью Ox).

Решим уравнение $2x^2 - 4x - 6 = 0$. Разделим обе части на 2 для упрощения: $x^2 - 2x - 3 = 0$.

По теореме Виета: сумма корней равна $2$, произведение равно $-3$. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Точки пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Точка пересечения с осью Oy.

$f(0) = 2(0)^2 - 4(0) - 6 = -6$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, -6)$.

5. Промежутки возрастания и убывания, область значений.

Ветви направлены вверх, значит функция убывает на $(-\infty, 1]$ и возрастает на $[1, \infty)$.

Минимальное значение функции: $y_{min} = y_v = -8$.

Область значений функции: $E(f) = [-8, +\infty)$.

Ответ:

Для функции $f(x) = 2x^2 - 4x - 6$: вершина параболы находится в точке $(1, -8)$, ветви направлены вверх. Нули функции: $x=-1$ и $x=3$. Пересечение с осью Oy в точке $(0, -6)$. Функция убывает на $(-\infty, 1]$ и возрастает на $[1, +\infty)$. Область значений: $[-8, +\infty)$.

3) $f(x) = 9 - x^2$

Это квадратичная функция. Запишем ее в стандартном виде $f(x) = -x^2 + 0x + 9$. Коэффициенты: $a=-1$, $b=0$, $c=9$. Графиком является парабола.

1. Направление ветвей параболы.

Так как $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины параболы.

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.

$y_v = f(0) = 9 - 0^2 = 9$.

Вершина параболы: $(0, 9)$. Ось симметрии: $x=0$ (ось Oy).

3. Нули функции (точки пересечения с осью Ox).

Решим уравнение $9 - x^2 = 0$.

$x^2 = 9$, откуда $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.

Точки пересечения с осью Ox: $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Точка пересечения с осью Oy.

$f(0) = 9 - 0^2 = 9$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, 9)$, что совпадает с вершиной.

5. Промежутки возрастания и убывания, область значений.

Ветви направлены вниз, значит функция возрастает до вершины и убывает после нее.

Промежуток возрастания: $(-\infty, 0]$.

Промежуток убывания: $[0, \infty)$.

Максимальное значение функции: $y_{max} = y_v = 9$.

Область значений функции: $E(f) = (-\infty, 9]$.

Ответ:

Для функции $f(x) = 9 - x^2$: вершина параболы находится в точке $(0, 9)$, ветви направлены вниз. Нули функции: $x=-3$ и $x=3$. Пересечение с осью Oy в точке $(0, 9)$. Функция возрастает на $(-\infty, 0]$ и убывает на $[0, \infty)$. Область значений: $(-\infty, 9]$.

4) $f(x) = 2 - 3x^2 + x$

Запишем функцию в стандартном виде: $f(x) = -3x^2 + x + 2$. Коэффициенты: $a=-3$, $b=1$, $c=2$. Графиком является парабола.

1. Направление ветвей параболы.

Так как $a=-3 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Координаты вершины параболы.

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-3)} = \frac{1}{6}$.

$y_v = f(\frac{1}{6}) = -3(\frac{1}{6})^2 + \frac{1}{6} + 2 = -3(\frac{1}{36}) + \frac{1}{6} + 2 = -\frac{1}{12} + \frac{2}{12} + \frac{24}{12} = \frac{25}{12}$.

Вершина параболы: $(\frac{1}{6}, \frac{25}{12})$. Ось симметрии: $x=\frac{1}{6}$.

3. Нули функции (точки пересечения с осью Ox).

Решим уравнение $-3x^2 + x + 2 = 0$. Умножим на -1: $3x^2 - x - 2 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm 5}{6}$.

$x_1 = \frac{1 - 5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.

$x_2 = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Точки пересечения с осью Ox: $(-\frac{2}{3}, 0)$ и $(1, 0)$.

4. Точка пересечения с осью Oy.

$f(0) = -3(0)^2 + 0 + 2 = 2$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, 2)$.

5. Промежутки возрастания и убывания, область значений.

Ветви направлены вниз, значит функция возрастает на $(-\infty, \frac{1}{6}]$ и убывает на $[\frac{1}{6}, \infty)$.

Максимальное значение функции: $y_{max} = y_v = \frac{25}{12}$.

Область значений функции: $E(f) = (-\infty, \frac{25}{12}]$.

Ответ:

Для функции $f(x) = -3x^2 + x + 2$: вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{6}, \frac{25}{12})$, ветви направлены вниз. Нули функции: $x=-\frac{2}{3}$ и $x=1$. Пересечение с осью Oy в точке $(0, 2)$. Функция возрастает на $(-\infty, \frac{1}{6}]$ и убывает на $[\frac{1}{6}, \infty)$. Область значений: $(-\infty, \frac{25}{12}]$.