Страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.36. Определите четность или нечетность функции (устно):

1) $y = x^{10}$;

2) $y = x^6$;

3) $y = x^4 - 2x^2 + 3$;

4) $y = x^3 - 5x$.

Для определения четности или нечетности функции $y = f(x)$ необходимо проверить выполнение одного из двух условий для любого $x$ из области определения функции. Область определения функции должна быть симметрична относительно точки 0.

Функция является четной, если выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Функция является нечетной, если выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Если ни одно из этих условий не выполняется, функция называется функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

Все представленные функции являются многочленами, область определения которых — вся числовая прямая ($D(y) = (-\infty; +\infty)$), что является симметричным множеством относительно нуля. Поэтому для определения четности достаточно проверить выполнение указанных выше равенств.

1) $y = x^{10}$

Пусть $f(x) = x^{10}$. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^{10}$

Поскольку показатель степени 10 является четным числом, $ (-x)^{10} = x^{10} $. Таким образом, получаем:

$f(-x) = x^{10} = f(x)$

Так как выполняется условие $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

2) $y = x^{6}$

Пусть $f(x) = x^{6}$. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^{6}$

Поскольку показатель степени 6 является четным числом, $ (-x)^{6} = x^{6} $. Таким образом, получаем:

$f(-x) = x^{6} = f(x)$

Так как выполняется условие $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

3) $y = x^4 - 2x^2 + 3$

Пусть $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 3$

Поскольку показатели степеней 4 и 2 являются четными числами, $(-x)^4 = x^4$ и $(-x)^2 = x^2$. Подставим эти значения в выражение:

$f(-x) = x^4 - 2x^2 + 3$

Сравнивая результат с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной. Стоит отметить, что многочлен является четной функцией, если все его слагаемые содержат переменную в четной степени (в данном случае это $x^4$, $x^2$ и $3=3x^0$).

Ответ: четная.

4) $y = x^3 - 5x$

Пусть $f(x) = x^3 - 5x$. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^3 - 5(-x)$

Поскольку показатель степени 3 является нечетным, $(-x)^3 = -x^3$. Также $-5(-x) = 5x$. Подставим эти значения в выражение:

$f(-x) = -x^3 + 5x$

Теперь вынесем знак минус за скобки:

$f(-x) = -(x^3 - 5x)$

Сравнивая результат с исходной функцией, видим, что $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, функция является нечетной. Стоит отметить, что многочлен является нечетной функцией, если все его слагаемые содержат переменную в нечетной степени (в данном случае это $x^3$ и $x=x^1$).

Ответ: нечетная.

1.37. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = x - 2;$

2) $y = 2 - 3x;$

3) $y = x^2 - 3x + 2;$

4) $y = -3x^2 + 5x - 2;$

5) $y = (3x - 10)(x + 6);$

6) $y = \frac{6 - x}{x}.$

Для нахождения промежутков знакопостоянства функции необходимо найти ее нули и область определения. Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Эти точки, а также точки разрыва функции, разбивают числовую ось на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет свой знак (либо положительный, либо отрицательный). Знак можно определить, подставив любое значение из промежутка в функцию.

1) $y = x - 2$

Это линейная функция, определенная на всей числовой оси. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $y = 0$:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Точка $x = 2$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Определим знак функции на каждом промежутке:

— При $x \in (-\infty; 2)$, например, при $x = 0$, получаем $y = 0 - 2 = -2$. Следовательно, $y < 0$ на этом промежутке.

— При $x \in (2; +\infty)$, например, при $x = 3$, получаем $y = 3 - 2 = 1$. Следовательно, $y > 0$ на этом промежутке.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (2; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 2)$.

2) $y = 2 - 3x$

Это линейная функция, область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем нули функции:

$2 - 3x = 0$

$3x = 2$

$x = \frac{2}{3}$

Точка $x = \frac{2}{3}$ делит числовую ось на два промежутка: $(-\infty; \frac{2}{3})$ и $(\frac{2}{3}; +\infty)$.

Определим знак функции на каждом промежутке:

— При $x \in (-\infty; \frac{2}{3})$, например, при $x = 0$, получаем $y = 2 - 3 \cdot 0 = 2$. Следовательно, $y > 0$ на этом промежутке.

— При $x \in (\frac{2}{3}; +\infty)$, например, при $x = 1$, получаем $y = 2 - 3 \cdot 1 = -1$. Следовательно, $y < 0$ на этом промежутке.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; \frac{2}{3})$; $y < 0$ при $x \in (\frac{2}{3}; +\infty)$.

3) $y = x^2 - 3x + 2$

Это квадратичная функция, область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$).

Найдем нули функции, решив квадратное уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2}$.

$x_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1$

$x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2$

Нули функции $x=1$ и $x=2$ делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Так как ветви параболы направлены вверх, функция положительна вне интервала между корнями и отрицательна внутри этого интервала.

— $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.

— $y < 0$ при $x \in (1; 2)$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (1; 2)$.

4) $y = -3x^2 + 5x - 2$

Это квадратичная функция, область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-3 < 0$).

Найдем нули функции, решив уравнение $-3x^2 + 5x - 2 = 0$. Умножим на -1 для удобства: $3x^2 - 5x + 2 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6}$.

$x_1 = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{5 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Нули функции $x=\frac{2}{3}$ и $x=1$ делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; \frac{2}{3})$, $(\frac{2}{3}; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Так как ветви параболы направлены вниз, функция отрицательна вне интервала между корнями и положительна внутри этого интервала.

— $y > 0$ при $x \in (\frac{2}{3}; 1)$.

— $y < 0$ при $x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (\frac{2}{3}; 1)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (1; +\infty)$.

5) $y = (3x - 10)(x + 6)$

Это квадратичная функция, представленная в виде произведения. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Раскрыв скобки, получим $y = 3x^2 + 8x - 60$. Коэффициент при $x^2$ положителен ($3 > 0$), значит, ветви параболы направлены вверх.

Найдем нули функции, приравняв каждый множитель к нулю:

$3x - 10 = 0 \implies 3x = 10 \implies x = \frac{10}{3}$

$x + 6 = 0 \implies x = -6$

Нули функции $x=-6$ и $x=\frac{10}{3}$ делят числовую ось на три промежутка: $(-\infty; -6)$, $(-6; \frac{10}{3})$ и $(\frac{10}{3}; +\infty)$.

Так как ветви параболы направлены вверх, функция положительна вне интервала между корнями и отрицательна внутри этого интервала.

— $y > 0$ при $x \in (-\infty; -6) \cup (\frac{10}{3}; +\infty)$.

— $y < 0$ при $x \in (-6; \frac{10}{3})$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -6) \cup (\frac{10}{3}; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-6; \frac{10}{3})$.

6) $y = \frac{6 - x}{x}$

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции исключает значения $x$, при которых знаменатель равен нулю: $x \neq 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем нули функции, приравняв числитель к нулю:

$6 - x = 0 \implies x = 6$

Точки, которые разбивают числовую ось на промежутки, — это нуль функции ($x=6$) и точка разрыва ($x=0$). Получаем промежутки: $(-\infty; 0)$, $(0; 6)$ и $(6; +\infty)$.

Определим знак функции на каждом промежутке методом интервалов:

— При $x \in (-\infty; 0)$, например, при $x = -1$, получаем $y = \frac{6 - (-1)}{-1} = \frac{7}{-1} = -7$. Следовательно, $y < 0$ на этом промежутке.

— При $x \in (0; 6)$, например, при $x = 1$, получаем $y = \frac{6 - 1}{1} = \frac{5}{1} = 5$. Следовательно, $y > 0$ на этом промежутке.

— При $x \in (6; +\infty)$, например, при $x = 7$, получаем $y = \frac{6 - 7}{7} = \frac{-1}{7}$. Следовательно, $y < 0$ на этом промежутке.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; 6)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (6; +\infty)$.

1.38. Опираясь на определение возрастающей и убывающей функций, докажите, что функция:

1) $y = \frac{5}{2x}$ убывает на промежутке $(-\infty; 0)$;

2) $y = -\frac{4}{x}$ возрастает на промежутке $(0; +\infty)$.

1) $y = \frac{5}{2x}$ убывает на промежутке $(-\infty; 0)$

Для доказательства воспользуемся определением убывающей функции. Функция $y(x)$ называется убывающей на промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$.

Возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; 0)$ так, что $x_1 < x_2$. Из этого следует, что $x_1 < 0$ и $x_2 < 0$.

Найдем значения функции в этих точках: $y(x_1) = \frac{5}{2x_1}$ и $y(x_2) = \frac{5}{2x_2}$.

Чтобы сравнить $y(x_1)$ и $y(x_2)$, рассмотрим их разность:

$y(x_1) - y(x_2) = \frac{5}{2x_1} - \frac{5}{2x_2} = \frac{5x_2 - 5x_1}{2x_1x_2} = \frac{5(x_2 - x_1)}{2x_1x_2}$

Теперь оценим знак полученного выражения:

1. Числитель: так как по нашему выбору $x_1 < x_2$, то разность $x_2 - x_1 > 0$. Следовательно, выражение $5(x_2 - x_1)$ положительно.

2. Знаменатель: так как $x_1$ и $x_2$ принадлежат промежутку $(-\infty; 0)$, то оба числа отрицательны ($x_1 < 0$ и $x_2 < 0$). Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, поэтому $x_1x_2 > 0$. Следовательно, выражение $2x_1x_2$ также положительно.

Поскольку и числитель, и знаменатель дроби положительны, то вся дробь положительна: $\frac{5(x_2 - x_1)}{2x_1x_2} > 0$.

Таким образом, мы получили, что $y(x_1) - y(x_2) > 0$, что эквивалентно $y(x_1) > y(x_2)$.

Так как для любых $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; 0)$ при условии $x_1 < x_2$ выполняется $y(x_1) > y(x_2)$, то по определению функция $y = \frac{5}{2x}$ убывает на этом промежутке.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) $y = -\frac{4}{x}$ возрастает на промежутке $(0; +\infty)$

Для доказательства воспользуемся определением возрастающей функции. Функция $y(x)$ называется возрастающей на промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) < y(x_2)$.

Возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(0; +\infty)$ так, что $x_1 < x_2$. Из этого следует, что $x_1 > 0$ и $x_2 > 0$.

Найдем значения функции в этих точках: $y(x_1) = -\frac{4}{x_1}$ и $y(x_2) = -\frac{4}{x_2}$.

Чтобы сравнить $y(x_1)$ и $y(x_2)$, рассмотрим разность $y(x_2) - y(x_1)$ (для возрастающей функции она должна быть положительной):

$y(x_2) - y(x_1) = \left(-\frac{4}{x_2}\right) - \left(-\frac{4}{x_1}\right) = \frac{4}{x_1} - \frac{4}{x_2} = \frac{4x_2 - 4x_1}{x_1x_2} = \frac{4(x_2 - x_1)}{x_1x_2}$

Теперь оценим знак полученного выражения:

1. Числитель: так как по нашему выбору $x_1 < x_2$, то разность $x_2 - x_1 > 0$. Следовательно, выражение $4(x_2 - x_1)$ положительно.

2. Знаменатель: так как $x_1$ и $x_2$ принадлежат промежутку $(0; +\infty)$, то оба числа положительны ($x_1 > 0$ и $x_2 > 0$). Произведение двух положительных чисел является положительным числом, поэтому $x_1x_2 > 0$.

Поскольку и числитель, и знаменатель дроби положительны, то вся дробь положительна: $\frac{4(x_2 - x_1)}{x_1x_2} > 0$.

Таким образом, мы получили, что $y(x_2) - y(x_1) > 0$, что эквивалентно $y(x_1) < y(x_2)$.

Так как для любых $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(0; +\infty)$ при условии $x_1 < x_2$ выполняется $y(x_1) < y(x_2)$, то по определению функция $y = -\frac{4}{x}$ возрастает на этом промежутке.

Ответ: Что и требовалось доказать.

1.39. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $g(x) = \frac{1}{x}$;

2) $f(x) = -\frac{1}{x}$;

3) $f(x) = \sqrt{x}$;

4) $h(x) = -\sqrt{x}$;

5) $g(x) = \sqrt{|x|}$;

6) $h(x) = \sqrt[3]{x}$;

1) $g(x) = \frac{1}{x}$;

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции исследуем знак ее производной.

Область определения функции $D(g) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Найдем производную функции: $g'(x) = (\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Определим знак производной. Поскольку $x^2 > 0$ для любого $x$ из области определения, то производная $g'(x) = -\frac{1}{x^2}$ всегда отрицательна ($g'(x) < 0$) на всей области определения.

Если производная функции отрицательна на некотором промежутке, то функция на этом промежутке убывает.

Следовательно, функция $g(x)$ убывает на промежутке $(-\infty, 0)$ и на промежутке $(0, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$; промежутков возрастания нет.

2) $f(x) = -\frac{1}{x}$;

Область определения функции $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (-\frac{1}{x})' = -(\frac{1}{x})' = -(-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{x^2}$.

Определим знак производной. Так как $x^2 > 0$ для любого $x$ из области определения, то $f'(x) = \frac{1}{x^2}$ всегда больше нуля ($f'(x) > 0$) на всей области определения.

Если производная функции положительна на некотором промежутке, то функция на этом промежутке возрастает.

Следовательно, функция $f(x)$ возрастает на промежутке $(-\infty, 0)$ и на промежутке $(0, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$; промежутков убывания нет.

3) $f(x) = \sqrt{x}$;

Область определения функции $D(f) = [0, +\infty)$, так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Найдем производную функции: $f'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная определена для $x > 0$. На этом интервале $\sqrt{x} > 0$, следовательно, производная $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ всегда положительна ($f'(x) > 0$).

Так как функция непрерывна в точке $x=0$ и возрастает на $(0, +\infty)$, она возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$; промежутков убывания нет.

4) $h(x) = -\sqrt{x}$;

Область определения функции $D(h) = [0, +\infty)$.

Найдем производную функции: $h'(x) = (-\sqrt{x})' = -(\sqrt{x})' = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная определена для $x > 0$. На этом интервале $\sqrt{x} > 0$, следовательно, производная $h'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$ всегда отрицательна ($h'(x) < 0$).

Так как функция непрерывна в точке $x=0$ и убывает на $(0, +\infty)$, она убывает на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $[0, +\infty)$; промежутков возрастания нет.

5) $g(x) = \sqrt{|x|}$;

Область определения функции $D(g) = (-\infty, +\infty)$, так как $|x| \ge 0$ для всех действительных $x$.

Раскроем модуль, представив функцию в кусочно-заданном виде: $g(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \\ \sqrt{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Рассмотрим промежуток $x > 0$. Здесь $g(x) = \sqrt{x}$. Как было показано в пункте 3), эта функция возрастает. Таким образом, $g(x)$ возрастает на $[0, +\infty)$.

Рассмотрим промежуток $x < 0$. Здесь $g(x) = \sqrt{-x}$. Найдем производную: $g'(x) = (\sqrt{-x})' = \frac{1}{2\sqrt{-x}} \cdot (-x)' = -\frac{1}{2\sqrt{-x}}$. Для $x < 0$, выражение $-x > 0$, поэтому $\sqrt{-x} > 0$, и производная $g'(x)$ всегда отрицательна. Следовательно, на промежутке $(-\infty, 0)$ функция убывает. Так как функция непрерывна в точке $x=0$, она убывает на $(-\infty, 0]$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

6) $h(x) = \sqrt[3]{x}$;

Область определения функции $D(h) = (-\infty, +\infty)$.

Найдем производную функции: $h'(x) = (\sqrt[3]{x})' = (x^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Производная не определена в точке $x=0$. Для всех $x \neq 0$, выражение $x^2 > 0$, следовательно, $\sqrt[3]{x^2} > 0$. Таким образом, производная $h'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ всегда положительна ($h'(x) > 0$) для всех $x \neq 0$.

Так как производная положительна на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$, а сама функция $h(x)$ непрерывна в точке $x=0$, то функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, +\infty)$; промежутков убывания нет.

1.40. Докажите, что функция:

1) $y = \frac{5}{2x+1}$ убывает на промежутке $(-\infty; 0,5);$

2) $y = \frac{4}{2-x}$ возрастает на промежутке $(2;+\infty);$

3) $y = 3\sqrt{4x+1}-1$ возрастает на промежутке $[-0,25;+\infty);$

4) $y = 3x^2 - 4x + 7$ убывает на промежутке $(-\infty; \frac{2}{3}).$

Для доказательства монотонности (возрастания или убывания) функции на заданном промежутке используется производная. Если производная функции $f'(x) > 0$ на некотором промежутке, то функция $f(x)$ на этом промежутке возрастает. Если $f'(x) < 0$, то функция убывает.

1) Доказать, что функция $y = \frac{5}{2x + 1}$ убывает на промежутке $(-\infty; 0,5)$.

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $2x + 1 \neq 0$, откуда $x \neq -0,5$. Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty; -0,5) \cup (-0,5; +\infty)$.

Заданный в условии промежуток $(-\infty; 0,5)$ содержит точку разрыва $x = -0,5$. Утверждение, что функция убывает на всем этом промежутке, неверно. По определению, функция называется убывающей на промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$.

Приведем контрпример. Возьмем точки $x_1 = -1$ и $x_2 = 0$. Обе точки принадлежат промежутку $(-\infty; 0,5)$ и $x_1 < x_2$. Найдем значения функции в этих точках:
$y(x_1) = y(-1) = \frac{5}{2(-1) + 1} = \frac{5}{-1} = -5$.
$y(x_2) = y(0) = \frac{5}{2(0) + 1} = \frac{5}{1} = 5$.
Мы получили, что $y(x_1) < y(x_2)$, что противоречит определению убывающей функции. Следовательно, утверждение в задаче в данной формулировке некорректно.

Однако мы можем исследовать функцию на монотонность на промежутках ее непрерывности. Для этого найдем производную:
$y' = \left(\frac{5}{2x + 1}\right)' = -\frac{5 \cdot (2x+1)'}{(2x+1)^2} = -\frac{5 \cdot 2}{(2x+1)^2} = -\frac{10}{(2x+1)^2}$.

Знаменатель $(2x+1)^2$ всегда положителен для любого $x$ из области определения. Числитель равен -10 (отрицательное число). Следовательно, производная $y' < 0$ для всех $x$ из области определения.

Это означает, что функция убывает на каждом из промежутков своей области определения: $(-\infty; -0,5)$ и $(-0,5; +\infty)$.

Ответ: Утверждение в задаче некорректно, так как указанный промежуток содержит точку разрыва. Функция $y = \frac{5}{2x + 1}$ убывает на промежутках $(-\infty; -0,5)$ и $(-0,5; +\infty)$, но не на всем промежутке $(-\infty; 0,5)$.

2) Доказать, что функция $y = \frac{4}{2 - x}$ возрастает на промежутке $(2; +\infty)$.

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $2 - x \neq 0$, откуда $x \neq 2$. Область определения $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. Заданный промежуток $(2; +\infty)$ входит в область определения.

Найдем производную функции $y$:
$y' = \left(\frac{4}{2 - x}\right)' = 4 \cdot ((2 - x)^{-1})' = 4 \cdot (-1) \cdot (2 - x)^{-2} \cdot (2 - x)' = -4(2 - x)^{-2} \cdot (-1) = \frac{4}{(2 - x)^2}$.

Проанализируем знак производной. Знаменатель $(2 - x)^2$ всегда положителен при любом $x \neq 2$. Числитель 4 также положителен. Следовательно, производная $y' > 0$ для всех $x$ из области определения функции.

Поскольку производная положительна на всей области определения, она положительна и на промежутке $(2; +\infty)$. Это означает, что функция возрастает на этом промежутке.

Ответ: Производная функции $y' = \frac{4}{(2 - x)^2}$ положительна на промежутке $(2; +\infty)$, следовательно, функция возрастает на этом промежутке.

3) Доказать, что функция $y = 3\sqrt{4x + 1} - 1$ возрастает на промежутке $[-0,25; +\infty)$.

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4x + 1 \ge 0$, откуда $4x \ge -1$, то есть $x \ge -0,25$. Область определения $D(y) = [-0,25; +\infty)$ совпадает с заданным промежутком.

Найдем производную функции $y$ для $x > -0,25$:
$y' = \left(3\sqrt{4x + 1} - 1\right)' = 3 \cdot (\sqrt{4x + 1})' - (1)' = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{4x + 1}} \cdot (4x + 1)' - 0 = \frac{3 \cdot 4}{2\sqrt{4x + 1}} = \frac{6}{\sqrt{4x + 1}}$.

Проанализируем знак производной на интервале $(-0,25; +\infty)$. Числитель 6 положителен. Знаменатель $\sqrt{4x + 1}$ также положителен для всех $x > -0,25$.

Следовательно, производная $y' > 0$ на интервале $(-0,25; +\infty)$. Так как функция $y$ непрерывна в точке $x = -0,25$ (и на всем промежутке $[-0,25; +\infty)$), а ее производная положительна на $(-0,25; +\infty)$, функция возрастает на всем промежутке $[-0,25; +\infty)$.

Ответ: Производная функции $y' = \frac{6}{\sqrt{4x + 1}}$ положительна на интервале $(-0,25; +\infty)$, а сама функция непрерывна на отрезке $[-0,25; +\infty)$, следовательно, функция возрастает на этом промежутке.

4) Доказать, что функция $y = 3x^2 - 4x + 7$ убывает на промежутке $(-\infty; \frac{2}{3}]$.

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 3 (положительное число), значит, ветви параболы направлены вверх. Такая парабола убывает на промежутке слева от вершины и возрастает справа от нее.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:
$x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Вершина параболы находится в точке $x = \frac{2}{3}$. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; \frac{2}{3}]$, что и требовалось доказать.

Подтвердим это с помощью производной. Найдем производную функции $y$:
$y' = (3x^2 - 4x + 7)' = 6x - 4$.

Найдем, при каких значениях $x$ производная отрицательна (что соответствует убыванию функции):
$y' < 0 \implies 6x - 4 < 0 \implies 6x < 4 \implies x < \frac{4}{6} \implies x < \frac{2}{3}$.

При $x = \frac{2}{3}$ производная $y' = 6(\frac{2}{3}) - 4 = 4 - 4 = 0$. Так как производная отрицательна на интервале $(-\infty; \frac{2}{3})$ и равна нулю в точке $x = \frac{2}{3}$, а функция непрерывна, то она убывает на всем промежутке $(-\infty; \frac{2}{3}]$.

Ответ: Производная функции $y' = 6x-4$ отрицательна при $x < \frac{2}{3}$ и равна нулю при $x = \frac{2}{3}$, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; \frac{2}{3}]$.

1.41. Найдите область определения, область значений, нули, точки разрыва (если они есть) и промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = x^2 + 2$;

2) $y = 3 - 4x^2$;

3) $y = 3x^2 - 6x + 1$;

4) $v(x) = \frac{|x|}{x}$;

5) $y = \frac{4 + 2x}{5 + x}$;

6) $y = \frac{6}{(x-1)(x+8)}$.

1) $y = x^2 + 2$

Область определения: Функция является многочленом (квадратичной функцией), поэтому она определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: Графиком функции является парабола с ветвями, направленными вверх. Вершина параболы находится в точке, где $x=0$, $y = 0^2 + 2 = 2$. Это минимальное значение функции. $E(y) = [2; +\infty)$.
Нули: Чтобы найти нули, решим уравнение $y=0$: $x^2 + 2 = 0 \implies x^2 = -2$. Уравнение не имеет действительных корней, следовательно, нулей у функции нет.
Точки разрыва: Функция является многочленом, а многочлены непрерывны на всей числовой оси. Точек разрыва нет.
Промежутки знакопостоянства: Так как у функции нет нулей и она непрерывна, она сохраняет свой знак на всей области определения. Поскольку $y(0) = 2 > 0$, функция положительна при всех значениях $x$. $y > 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений: $E(y) = [2; +\infty)$; нулей нет; точек разрыва нет; функция положительна на всей области определения: $y > 0$ при $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) $y = 3 - 4x^2$

Область определения: Функция является многочленом, определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: Графиком является парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен). Вершина находится в точке, где $x=0$, $y = 3 - 4(0)^2 = 3$. Это максимальное значение функции. $E(y) = (-\infty; 3]$.
Нули: Решим уравнение $y=0$: $3 - 4x^2 = 0 \implies 4x^2 = 3 \implies x^2 = \frac{3}{4} \implies x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Точки разрыва: Функция непрерывна на всей числовой оси. Точек разрыва нет.
Промежутки знакопостоянства: Нули функции $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ делят числовую ось на три интервала.

• При $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{2})$, например $x=-1$, $y = 3-4(-1)^2 = -1 < 0$.
• При $x \in (-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, например $x=0$, $y = 3-4(0)^2 = 3 > 0$.
• При $x \in (\frac{\sqrt{3}}{2}; +\infty)$, например $x=1$, $y = 3-4(1)^2 = -1 < 0$.

$y > 0$ при $x \in (-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{2}; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений: $E(y) = (-\infty; 3]$; нули: $x_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $x_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$; точек разрыва нет; $y > 0$ при $x \in (-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, $y < 0$ при $x \in (-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{2}; +\infty)$.

3) $y = 3x^2 - 6x + 1$

Область определения: Многочлен, определен для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: Парабола с ветвями вверх. Координаты вершины: $x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = 1$; $y_v = 3(1)^2 - 6(1) + 1 = -2$. Минимальное значение функции равно -2. $E(y) = [-2; +\infty)$.
Нули: Решим уравнение $3x^2 - 6x + 1 = 0$ с помощью дискриминанта: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 36 - 12 = 24$. $x = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$.
Точки разрыва: Точек разрыва нет.
Промежутки знакопостоянства: Парабола с ветвями вверх, пересекает ось Ox в точках $x = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$ и $x = 1 + \frac{\sqrt{6}}{3}$. $y > 0$ (ветви выше оси) при $x \in (-\infty; 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}) \cup (1 + \frac{\sqrt{6}}{3}; +\infty)$. $y < 0$ (вершина ниже оси) при $x \in (1 - \frac{\sqrt{6}}{3}; 1 + \frac{\sqrt{6}}{3})$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений: $E(y) = [-2; +\infty)$; нули: $x = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$; точек разрыва нет; $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}) \cup (1 + \frac{\sqrt{6}}{3}; +\infty)$, $y < 0$ при $x \in (1 - \frac{\sqrt{6}}{3}; 1 + \frac{\sqrt{6}}{3})$.

4) $y(x) = \frac{|x|}{x}$

Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю, $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Область значений: Раскроем модуль: Если $x > 0$, то $y = \frac{x}{x} = 1$. Если $x < 0$, то $y = \frac{-x}{x} = -1$. Функция принимает только два значения. $E(y) = \{-1, 1\}$.
Нули: Функция не принимает значение 0. Нулей нет.
Точки разрыва: Функция не определена в точке $x=0$. Вычислим пределы слева и справа: $\lim_{x \to 0^-} y(x) = -1$, $\lim_{x \to 0^+} y(x) = 1$. Пределы конечны, но не равны. Точка $x=0$ является точкой разрыва первого рода (скачок).
Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ (равна 1) при $x \in (0; +\infty)$. $y < 0$ (равна -1) при $x \in (-\infty; 0)$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; область значений: $E(y) = \{-1, 1\}$; нулей нет; точка разрыва: $x=0$ (разрыв первого рода); $y > 0$ при $x > 0$, $y < 0$ при $x < 0$.

5) $y = \frac{4+2x}{5+x}$

Область определения: Знаменатель $5+x \neq 0$, следовательно $x \neq -5$. $D(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$.
Область значений: Это дробно-линейная функция. Найдем горизонтальную асимптоту: $\lim_{x \to \infty} \frac{4+2x}{5+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x(\frac{4}{x}+2)}{x(\frac{5}{x}+1)} = 2$. Функция не принимает значение $y=2$. $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
Нули: $y=0 \implies 4+2x = 0 \implies 2x = -4 \implies x = -2$.
Точки разрыва: Функция не определена в точке $x=-5$. Это точка разрыва. Так как при $x \to -5$ знаменатель стремится к нулю, а числитель к $4+2(-5)=-6 \neq 0$, то $x=-5$ - точка разрыва второго рода (бесконечный разрыв).
Промежутки знакопостоянства: Используем метод интервалов. Точки, делящие ось: нуль $x=-2$ и точка разрыва $x=-5$.

• Интервал $(-\infty; -5)$: возьмем $x=-6$, $y = \frac{4-12}{5-6} = 8 > 0$.
• Интервал $(-5; -2)$: возьмем $x=-3$, $y = \frac{4-6}{5-3} = -1 < 0$.
• Интервал $(-2; +\infty)$: возьмем $x=0$, $y = \frac{4}{5} > 0$.

$y > 0$ при $x \in (-\infty; -5) \cup (-2; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-5; -2)$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)$; область значений: $E(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$; нуль: $x=-2$; точка разрыва: $x=-5$ (разрыв второго рода); $y > 0$ при $x \in (-\infty; -5) \cup (-2; +\infty)$, $y < 0$ при $x \in (-5; -2)$.

6) $y = \frac{6}{(x-1)(x+8)}$

Область определения: Знаменатель не равен нулю: $(x-1)(x+8) \neq 0$, откуда $x \neq 1$ и $x \neq -8$. $D(y) = (-\infty; -8) \cup (-8; 1) \cup (1; +\infty)$.
Область значений: Знаменатель $z(x) = x^2+7x-8$ - парабола с ветвями вверх. Ее минимальное значение в вершине $x_v = -7/2 = -3.5$, $z_{min} = (-3.5-1)(-3.5+8) = (-4.5)(4.5) = -20.25$. Тогда максимальное значение функции $y_{max} = \frac{6}{-20.25} = -\frac{6}{81/4} = -\frac{24}{81} = -\frac{8}{27}$. На интервалах $(-\infty; -8)$ и $(1; +\infty)$ знаменатель положителен, значит $y>0$. $E(y) = (-\infty; -8/27] \cup (0; +\infty)$.
Нули: Числитель равен 6 и никогда не равен нулю. Нулей нет.
Точки разрыва: $x=-8$ и $x=1$ - точки, где знаменатель обращается в ноль. Это точки разрыва второго рода.
Промежутки знакопостоянства: Точки разрыва $x=-8$ и $x=1$ делят числовую ось на интервалы. Знак функции определяется знаком знаменателя $(x-1)(x+8)$.

• Интервал $(-\infty; -8)$: $x=-10$, $(-)(-)=+$, $y > 0$.
• Интервал $(-8; 1)$: $x=0$, $(-)(+)=-$, $y < 0$.
• Интервал $(1; +\infty)$: $x=2$, $(+)(+)=+$, $y > 0$.

$y > 0$ при $x \in (-\infty; -8) \cup (1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-8; 1)$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; -8) \cup (-8; 1) \cup (1; +\infty)$; область значений: $E(y) = (-\infty; -8/27] \cup (0; +\infty)$; нулей нет; точки разрыва: $x=-8$, $x=1$ (разрывы второго рода); $y > 0$ при $x \in (-\infty; -8) \cup (1; +\infty)$, $y < 0$ при $x \in (-8; 1)$.

1.42. Равны ли функции $f(x)$ и $\varphi(x)$?

1) $f(x) = \sqrt{x}\sqrt{x-1}$, $\varphi(x) = \sqrt{x(x-1)}$;

2) $f(x) = |x|\sqrt{x+1}$, $\varphi(x) = \sqrt{x^3+x^2}$.

Две функции считаются равными, если выполняются два условия:

1. У них одинаковые области определения.

2. Для любого значения аргумента из их общей области определения значения функций равны.

1) $f(x) = \sqrt{x}\sqrt{x-1}$, $φ(x) = \sqrt{x(x-1)}$

Найдем область определения функции $f(x)$. Эта функция представляет собой произведение двух квадратных корней. Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases}$

Решая эту систему неравенств, получаем:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge 1 \end{cases} \implies x \ge 1$

Таким образом, область определения функции $f(x)$ есть $D(f) = [1, +\infty)$.

Теперь найдем область определения функции $φ(x)$. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$x(x-1) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни множителей: $x=0$ и $x=1$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала. Определив знаки произведения на каждом из них, получаем, что неравенство выполняется при $x \le 0$ или $x \ge 1$.

Таким образом, область определения функции $φ(x)$ есть $D(φ) = (-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$.

Сравнивая области определения $D(f)$ и $D(φ)$, мы видим, что они не совпадают. Например, $x=0$ принадлежит $D(φ)$, но не принадлежит $D(f)$. Так как первое условие равенства функций не выполняется, функции не равны.

Ответ: Функции не равны.

2) $f(x) = |x|\sqrt{x+1}$, $φ(x) = \sqrt{x^3 + x^2}$

Найдем область определения функции $f(x)$. Выражение $|x|$ определено для всех действительных чисел. Выражение под корнем $\sqrt{x+1}$ определено при условии:

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$

Следовательно, область определения функции $f(x)$ есть $D(f) = [-1, +\infty)$.

Теперь найдем область определения функции $φ(x)$. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$x^3 + x^2 \ge 0$

Разложим левую часть на множители:

$x^2(x+1) \ge 0$

Поскольку множитель $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$ для любого $x$), знак всего произведения зависит от знака множителя $(x+1)$. Неравенство будет верным, если:

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$

(Случай $x=0$ также удовлетворяет неравенству и входит в найденный промежуток).

Таким образом, область определения функции $φ(x)$ есть $D(φ) = [-1, +\infty)$.

Области определения функций $f(x)$ и $φ(x)$ совпадают: $D(f) = D(φ)$.

Теперь проверим, равны ли значения функций на этой области определения. Преобразуем выражение для функции $φ(x)$:

$φ(x) = \sqrt{x^3 + x^2} = \sqrt{x^2(x+1)}$

На области определения $x \ge -1$ оба множителя под корнем, $x^2$ и $x+1$, неотрицательны. Поэтому мы можем применить свойство корня из произведения $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$:

$φ(x) = \sqrt{x^2}\sqrt{x+1}$

По определению, $\sqrt{x^2} = |x|$. Следовательно:

$φ(x) = |x|\sqrt{x+1}$

Мы видим, что аналитическое выражение для функции $φ(x)$ совпадает с выражением для $f(x)$.

Так как функции имеют одинаковую область определения и на этой области их значения совпадают, то функции равны.

Ответ: Функции равны.

1.43. Определите, является ли функция возрастающей или убывающей:

1) $y = \frac{3}{x-1}$;

2) $y = \frac{x-1}{x+1}$;

3) $y = 2 + \frac{1}{x-2}$;

4) $y = 3 + \frac{x+1}{x+3}$.

Для определения, является ли функция возрастающей или убывающей, необходимо исследовать знак ее производной. Если производная $y'$ положительна на интервале, функция на этом интервале возрастает. Если производная отрицательна, функция убывает.

1) $y = \frac{3}{x-1}$

Найдем производную данной функции. Область определения функции: $x \neq 1$.

$y' = \left(\frac{3}{x-1}\right)' = (3(x-1)^{-1})' = 3 \cdot (-1)(x-1)^{-2} \cdot (x-1)' = -3(x-1)^{-2} = -\frac{3}{(x-1)^2}$.

Выражение $(x-1)^2$ всегда положительно для любого $x$ из области определения. Числитель $-3$ является отрицательным числом. Таким образом, производная $y' = -\frac{3}{(x-1)^2}$ всегда отрицательна ($y' < 0$) на всей своей области определения, то есть на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; \infty)$.

Следовательно, функция является убывающей.

Ответ: функция является убывающей.

2) $y = \frac{x-1}{x+1}$

Найдем производную функции. Область определения: $x \neq -1$. Для упрощения вычислений, преобразуем функцию, выделив целую часть:

$y = \frac{x+1-2}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{2}{x+1} = 1 - \frac{2}{x+1}$.

Теперь найдем производную:

$y' = \left(1 - \frac{2}{x+1}\right)' = (1 - 2(x+1)^{-1})' = 0 - 2 \cdot (-1)(x+1)^{-2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.

Знаменатель $(x+1)^2$ всегда положителен для любого $x \neq -1$. Числитель $2$ также положителен. Значит, производная $y' > 0$ на всей области определения, то есть на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(-1; \infty)$.

Следовательно, функция является возрастающей.

Ответ: функция является возрастающей.

3) $y = 2 + \frac{1}{x-2}$

Найдем производную функции. Область определения: $x \neq 2$.

$y' = \left(2 + \frac{1}{x-2}\right)' = (2 + (x-2)^{-1})' = 0 + (-1)(x-2)^{-2} = -\frac{1}{(x-2)^2}$.

Знаменатель $(x-2)^2$ всегда положителен при $x \neq 2$. Числитель $-1$ отрицателен. Таким образом, производная $y' < 0$ на всей области определения, то есть на интервалах $(-\infty; 2)$ и $(2; \infty)$.

Следовательно, функция является убывающей.

Ответ: функция является убывающей.

4) $y = 3 + \frac{x+1}{x+3}$

Найдем производную функции. Область определения: $x \neq -3$. Сначала преобразуем функцию:

$y = 3 + \frac{x+3-2}{x+3} = 3 + 1 - \frac{2}{x+3} = 4 - \frac{2}{x+3}$.

Теперь найдем производную:

$y' = \left(4 - \frac{2}{x+3}\right)' = (4 - 2(x+3)^{-1})' = 0 - 2 \cdot (-1)(x+3)^{-2} = \frac{2}{(x+3)^2}$.

Знаменатель $(x+3)^2$ всегда положителен при $x \neq -3$. Числитель $2$ положителен. Значит, производная $y' > 0$ на всей области определения, то есть на интервалах $(-\infty; -3)$ и $(-3; \infty)$.

Следовательно, функция является возрастающей.

Ответ: функция является возрастающей.