Номер 1.36, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.36. Определите четность или нечетность функции (устно):

1) $y = x^{10}$;

2) $y = x^6$;

3) $y = x^4 - 2x^2 + 3$;

4) $y = x^3 - 5x$.

Для определения четности или нечетности функции $y = f(x)$ необходимо проверить выполнение одного из двух условий для любого $x$ из области определения функции. Область определения функции должна быть симметрична относительно точки 0.

Функция является четной, если выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Функция является нечетной, если выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Если ни одно из этих условий не выполняется, функция называется функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

Все представленные функции являются многочленами, область определения которых — вся числовая прямая ($D(y) = (-\infty; +\infty)$), что является симметричным множеством относительно нуля. Поэтому для определения четности достаточно проверить выполнение указанных выше равенств.

1) $y = x^{10}$

Пусть $f(x) = x^{10}$. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^{10}$

Поскольку показатель степени 10 является четным числом, $ (-x)^{10} = x^{10} $. Таким образом, получаем:

$f(-x) = x^{10} = f(x)$

Так как выполняется условие $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

2) $y = x^{6}$

Пусть $f(x) = x^{6}$. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^{6}$

Поскольку показатель степени 6 является четным числом, $ (-x)^{6} = x^{6} $. Таким образом, получаем:

$f(-x) = x^{6} = f(x)$

Так как выполняется условие $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

3) $y = x^4 - 2x^2 + 3$

Пусть $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 3$

Поскольку показатели степеней 4 и 2 являются четными числами, $(-x)^4 = x^4$ и $(-x)^2 = x^2$. Подставим эти значения в выражение:

$f(-x) = x^4 - 2x^2 + 3$

Сравнивая результат с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной. Стоит отметить, что многочлен является четной функцией, если все его слагаемые содержат переменную в четной степени (в данном случае это $x^4$, $x^2$ и $3=3x^0$).

Ответ: четная.

4) $y = x^3 - 5x$

Пусть $f(x) = x^3 - 5x$. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^3 - 5(-x)$

Поскольку показатель степени 3 является нечетным, $(-x)^3 = -x^3$. Также $-5(-x) = 5x$. Подставим эти значения в выражение:

$f(-x) = -x^3 + 5x$

Теперь вынесем знак минус за скобки:

$f(-x) = -(x^3 - 5x)$

Сравнивая результат с исходной функцией, видим, что $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, функция является нечетной. Стоит отметить, что многочлен является нечетной функцией, если все его слагаемые содержат переменную в нечетной степени (в данном случае это $x^3$ и $x=x^1$).

Ответ: нечетная.