Номер 1.40, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.40. Докажите, что функция:

1) $y = \frac{5}{2x+1}$ убывает на промежутке $(-\infty; 0,5);$

2) $y = \frac{4}{2-x}$ возрастает на промежутке $(2;+\infty);$

3) $y = 3\sqrt{4x+1}-1$ возрастает на промежутке $[-0,25;+\infty);$

4) $y = 3x^2 - 4x + 7$ убывает на промежутке $(-\infty; \frac{2}{3}).$

Для доказательства монотонности (возрастания или убывания) функции на заданном промежутке используется производная. Если производная функции $f'(x) > 0$ на некотором промежутке, то функция $f(x)$ на этом промежутке возрастает. Если $f'(x) < 0$, то функция убывает.

1) Доказать, что функция $y = \frac{5}{2x + 1}$ убывает на промежутке $(-\infty; 0,5)$.

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю: $2x + 1 \neq 0$, откуда $x \neq -0,5$. Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty; -0,5) \cup (-0,5; +\infty)$.

Заданный в условии промежуток $(-\infty; 0,5)$ содержит точку разрыва $x = -0,5$. Утверждение, что функция убывает на всем этом промежутке, неверно. По определению, функция называется убывающей на промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$.

Приведем контрпример. Возьмем точки $x_1 = -1$ и $x_2 = 0$. Обе точки принадлежат промежутку $(-\infty; 0,5)$ и $x_1 < x_2$. Найдем значения функции в этих точках:
$y(x_1) = y(-1) = \frac{5}{2(-1) + 1} = \frac{5}{-1} = -5$.
$y(x_2) = y(0) = \frac{5}{2(0) + 1} = \frac{5}{1} = 5$.
Мы получили, что $y(x_1) < y(x_2)$, что противоречит определению убывающей функции. Следовательно, утверждение в задаче в данной формулировке некорректно.

Однако мы можем исследовать функцию на монотонность на промежутках ее непрерывности. Для этого найдем производную:
$y' = \left(\frac{5}{2x + 1}\right)' = -\frac{5 \cdot (2x+1)'}{(2x+1)^2} = -\frac{5 \cdot 2}{(2x+1)^2} = -\frac{10}{(2x+1)^2}$.

Знаменатель $(2x+1)^2$ всегда положителен для любого $x$ из области определения. Числитель равен -10 (отрицательное число). Следовательно, производная $y' < 0$ для всех $x$ из области определения.

Это означает, что функция убывает на каждом из промежутков своей области определения: $(-\infty; -0,5)$ и $(-0,5; +\infty)$.

Ответ: Утверждение в задаче некорректно, так как указанный промежуток содержит точку разрыва. Функция $y = \frac{5}{2x + 1}$ убывает на промежутках $(-\infty; -0,5)$ и $(-0,5; +\infty)$, но не на всем промежутке $(-\infty; 0,5)$.

2) Доказать, что функция $y = \frac{4}{2 - x}$ возрастает на промежутке $(2; +\infty)$.

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $2 - x \neq 0$, откуда $x \neq 2$. Область определения $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. Заданный промежуток $(2; +\infty)$ входит в область определения.

Найдем производную функции $y$:
$y' = \left(\frac{4}{2 - x}\right)' = 4 \cdot ((2 - x)^{-1})' = 4 \cdot (-1) \cdot (2 - x)^{-2} \cdot (2 - x)' = -4(2 - x)^{-2} \cdot (-1) = \frac{4}{(2 - x)^2}$.

Проанализируем знак производной. Знаменатель $(2 - x)^2$ всегда положителен при любом $x \neq 2$. Числитель 4 также положителен. Следовательно, производная $y' > 0$ для всех $x$ из области определения функции.

Поскольку производная положительна на всей области определения, она положительна и на промежутке $(2; +\infty)$. Это означает, что функция возрастает на этом промежутке.

Ответ: Производная функции $y' = \frac{4}{(2 - x)^2}$ положительна на промежутке $(2; +\infty)$, следовательно, функция возрастает на этом промежутке.

3) Доказать, что функция $y = 3\sqrt{4x + 1} - 1$ возрастает на промежутке $[-0,25; +\infty)$.

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4x + 1 \ge 0$, откуда $4x \ge -1$, то есть $x \ge -0,25$. Область определения $D(y) = [-0,25; +\infty)$ совпадает с заданным промежутком.

Найдем производную функции $y$ для $x > -0,25$:
$y' = \left(3\sqrt{4x + 1} - 1\right)' = 3 \cdot (\sqrt{4x + 1})' - (1)' = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{4x + 1}} \cdot (4x + 1)' - 0 = \frac{3 \cdot 4}{2\sqrt{4x + 1}} = \frac{6}{\sqrt{4x + 1}}$.

Проанализируем знак производной на интервале $(-0,25; +\infty)$. Числитель 6 положителен. Знаменатель $\sqrt{4x + 1}$ также положителен для всех $x > -0,25$.

Следовательно, производная $y' > 0$ на интервале $(-0,25; +\infty)$. Так как функция $y$ непрерывна в точке $x = -0,25$ (и на всем промежутке $[-0,25; +\infty)$), а ее производная положительна на $(-0,25; +\infty)$, функция возрастает на всем промежутке $[-0,25; +\infty)$.

Ответ: Производная функции $y' = \frac{6}{\sqrt{4x + 1}}$ положительна на интервале $(-0,25; +\infty)$, а сама функция непрерывна на отрезке $[-0,25; +\infty)$, следовательно, функция возрастает на этом промежутке.

4) Доказать, что функция $y = 3x^2 - 4x + 7$ убывает на промежутке $(-\infty; \frac{2}{3}]$.

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 3 (положительное число), значит, ветви параболы направлены вверх. Такая парабола убывает на промежутке слева от вершины и возрастает справа от нее.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:
$x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Вершина параболы находится в точке $x = \frac{2}{3}$. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; \frac{2}{3}]$, что и требовалось доказать.

Подтвердим это с помощью производной. Найдем производную функции $y$:
$y' = (3x^2 - 4x + 7)' = 6x - 4$.

Найдем, при каких значениях $x$ производная отрицательна (что соответствует убыванию функции):
$y' < 0 \implies 6x - 4 < 0 \implies 6x < 4 \implies x < \frac{4}{6} \implies x < \frac{2}{3}$.

При $x = \frac{2}{3}$ производная $y' = 6(\frac{2}{3}) - 4 = 4 - 4 = 0$. Так как производная отрицательна на интервале $(-\infty; \frac{2}{3})$ и равна нулю в точке $x = \frac{2}{3}$, а функция непрерывна, то она убывает на всем промежутке $(-\infty; \frac{2}{3}]$.

Ответ: Производная функции $y' = 6x-4$ отрицательна при $x < \frac{2}{3}$ и равна нулю при $x = \frac{2}{3}$, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; \frac{2}{3}]$.