Номер 1.38, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.38. Опираясь на определение возрастающей и убывающей функций, докажите, что функция:

1) $y = \frac{5}{2x}$ убывает на промежутке $(-\infty; 0)$;

2) $y = -\frac{4}{x}$ возрастает на промежутке $(0; +\infty)$.

1) $y = \frac{5}{2x}$ убывает на промежутке $(-\infty; 0)$

Для доказательства воспользуемся определением убывающей функции. Функция $y(x)$ называется убывающей на промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$.

Возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; 0)$ так, что $x_1 < x_2$. Из этого следует, что $x_1 < 0$ и $x_2 < 0$.

Найдем значения функции в этих точках: $y(x_1) = \frac{5}{2x_1}$ и $y(x_2) = \frac{5}{2x_2}$.

Чтобы сравнить $y(x_1)$ и $y(x_2)$, рассмотрим их разность:

$y(x_1) - y(x_2) = \frac{5}{2x_1} - \frac{5}{2x_2} = \frac{5x_2 - 5x_1}{2x_1x_2} = \frac{5(x_2 - x_1)}{2x_1x_2}$

Теперь оценим знак полученного выражения:

1. Числитель: так как по нашему выбору $x_1 < x_2$, то разность $x_2 - x_1 > 0$. Следовательно, выражение $5(x_2 - x_1)$ положительно.

2. Знаменатель: так как $x_1$ и $x_2$ принадлежат промежутку $(-\infty; 0)$, то оба числа отрицательны ($x_1 < 0$ и $x_2 < 0$). Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, поэтому $x_1x_2 > 0$. Следовательно, выражение $2x_1x_2$ также положительно.

Поскольку и числитель, и знаменатель дроби положительны, то вся дробь положительна: $\frac{5(x_2 - x_1)}{2x_1x_2} > 0$.

Таким образом, мы получили, что $y(x_1) - y(x_2) > 0$, что эквивалентно $y(x_1) > y(x_2)$.

Так как для любых $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; 0)$ при условии $x_1 < x_2$ выполняется $y(x_1) > y(x_2)$, то по определению функция $y = \frac{5}{2x}$ убывает на этом промежутке.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) $y = -\frac{4}{x}$ возрастает на промежутке $(0; +\infty)$

Для доказательства воспользуемся определением возрастающей функции. Функция $y(x)$ называется возрастающей на промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) < y(x_2)$.

Возьмем два произвольных числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(0; +\infty)$ так, что $x_1 < x_2$. Из этого следует, что $x_1 > 0$ и $x_2 > 0$.

Найдем значения функции в этих точках: $y(x_1) = -\frac{4}{x_1}$ и $y(x_2) = -\frac{4}{x_2}$.

Чтобы сравнить $y(x_1)$ и $y(x_2)$, рассмотрим разность $y(x_2) - y(x_1)$ (для возрастающей функции она должна быть положительной):

$y(x_2) - y(x_1) = \left(-\frac{4}{x_2}\right) - \left(-\frac{4}{x_1}\right) = \frac{4}{x_1} - \frac{4}{x_2} = \frac{4x_2 - 4x_1}{x_1x_2} = \frac{4(x_2 - x_1)}{x_1x_2}$

Теперь оценим знак полученного выражения:

1. Числитель: так как по нашему выбору $x_1 < x_2$, то разность $x_2 - x_1 > 0$. Следовательно, выражение $4(x_2 - x_1)$ положительно.

2. Знаменатель: так как $x_1$ и $x_2$ принадлежат промежутку $(0; +\infty)$, то оба числа положительны ($x_1 > 0$ и $x_2 > 0$). Произведение двух положительных чисел является положительным числом, поэтому $x_1x_2 > 0$.

Поскольку и числитель, и знаменатель дроби положительны, то вся дробь положительна: $\frac{4(x_2 - x_1)}{x_1x_2} > 0$.

Таким образом, мы получили, что $y(x_2) - y(x_1) > 0$, что эквивалентно $y(x_1) < y(x_2)$.

Так как для любых $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(0; +\infty)$ при условии $x_1 < x_2$ выполняется $y(x_1) < y(x_2)$, то по определению функция $y = -\frac{4}{x}$ возрастает на этом промежутке.

Ответ: Что и требовалось доказать.