Номер 1.42, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.42. Равны ли функции $f(x)$ и $\varphi(x)$?

1) $f(x) = \sqrt{x}\sqrt{x-1}$, $\varphi(x) = \sqrt{x(x-1)}$;

2) $f(x) = |x|\sqrt{x+1}$, $\varphi(x) = \sqrt{x^3+x^2}$.

Две функции считаются равными, если выполняются два условия:

1. У них одинаковые области определения.

2. Для любого значения аргумента из их общей области определения значения функций равны.

1) $f(x) = \sqrt{x}\sqrt{x-1}$, $φ(x) = \sqrt{x(x-1)}$

Найдем область определения функции $f(x)$. Эта функция представляет собой произведение двух квадратных корней. Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases}$

Решая эту систему неравенств, получаем:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge 1 \end{cases} \implies x \ge 1$

Таким образом, область определения функции $f(x)$ есть $D(f) = [1, +\infty)$.

Теперь найдем область определения функции $φ(x)$. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$x(x-1) \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни множителей: $x=0$ и $x=1$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала. Определив знаки произведения на каждом из них, получаем, что неравенство выполняется при $x \le 0$ или $x \ge 1$.

Таким образом, область определения функции $φ(x)$ есть $D(φ) = (-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$.

Сравнивая области определения $D(f)$ и $D(φ)$, мы видим, что они не совпадают. Например, $x=0$ принадлежит $D(φ)$, но не принадлежит $D(f)$. Так как первое условие равенства функций не выполняется, функции не равны.

Ответ: Функции не равны.

2) $f(x) = |x|\sqrt{x+1}$, $φ(x) = \sqrt{x^3 + x^2}$

Найдем область определения функции $f(x)$. Выражение $|x|$ определено для всех действительных чисел. Выражение под корнем $\sqrt{x+1}$ определено при условии:

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$

Следовательно, область определения функции $f(x)$ есть $D(f) = [-1, +\infty)$.

Теперь найдем область определения функции $φ(x)$. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$x^3 + x^2 \ge 0$

Разложим левую часть на множители:

$x^2(x+1) \ge 0$

Поскольку множитель $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$ для любого $x$), знак всего произведения зависит от знака множителя $(x+1)$. Неравенство будет верным, если:

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$

(Случай $x=0$ также удовлетворяет неравенству и входит в найденный промежуток).

Таким образом, область определения функции $φ(x)$ есть $D(φ) = [-1, +\infty)$.

Области определения функций $f(x)$ и $φ(x)$ совпадают: $D(f) = D(φ)$.

Теперь проверим, равны ли значения функций на этой области определения. Преобразуем выражение для функции $φ(x)$:

$φ(x) = \sqrt{x^3 + x^2} = \sqrt{x^2(x+1)}$

На области определения $x \ge -1$ оба множителя под корнем, $x^2$ и $x+1$, неотрицательны. Поэтому мы можем применить свойство корня из произведения $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$:

$φ(x) = \sqrt{x^2}\sqrt{x+1}$

По определению, $\sqrt{x^2} = |x|$. Следовательно:

$φ(x) = |x|\sqrt{x+1}$

Мы видим, что аналитическое выражение для функции $φ(x)$ совпадает с выражением для $f(x)$.

Так как функции имеют одинаковую область определения и на этой области их значения совпадают, то функции равны.

Ответ: Функции равны.