Номер 1.48, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.48. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = x - 1$;

2) $g(x) = \sqrt{x + 3}$;

3) $h(x) = \sqrt{x^2 - 1}$;

4) $f(x) = \sqrt{16 - x^2}$;

5) $g(x) = \sqrt{5 - 10x}$;

6) $\varphi(x) = \sqrt{10x - 5}$;

7) $F(x) = \frac{x - 1}{2x + 3}$;

8) $f(x) = \frac{2x}{x^2 + 3}$;

9) $g(x) = \frac{3x + 1}{x^2 - 3x + 2}$.

1) Функция $f(x)=x-1$ является линейной (многочлен). Она определена для любых действительных значений $x$, так как в ее выражении нет операций деления на переменную или извлечения корня четной степени. Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2) Функция $g(x)=\sqrt{x+3}$ определена, когда выражение под знаком квадратного корня (подкоренное выражение) неотрицательно. Таким образом, необходимо решить неравенство $x+3 \ge 0$. Перенося 3 в правую часть, получаем $x \ge -3$. Ответ: $D(g) = [-3; +\infty)$.

3) Для функции $h(x)=\sqrt{x^2-1}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2-1 \ge 0$. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x-1)(x+1) \ge 0$. Решением этого квадратичного неравенства является объединение промежутков, где $x \le -1$ или $x \ge 1$. Ответ: $D(h) = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

4) Область определения функции $f(x)=\sqrt{16-x^2}$ задается условием, что подкоренное выражение неотрицательно: $16-x^2 \ge 0$. Это неравенство равносильно $x^2 \le 16$. Извлекая корень из обеих частей, получаем $|x| \le 4$, что означает $-4 \le x \le 4$. Ответ: $D(f) = [-4; 4]$.

5) Для функции $g(x)=\sqrt{5-10x}$ выражение под корнем должно быть неотрицательно: $5-10x \ge 0$. Решаем неравенство: $5 \ge 10x$, что равносильно $x \le \frac{5}{10}$, то есть $x \le 0.5$. Ответ: $D(g) = (-\infty; 0.5]$.

6) Для функции $\varphi(x)=\sqrt{10x-5}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $10x-5 \ge 0$. Решаем неравенство: $10x \ge 5$, что равносильно $x \ge \frac{5}{10}$, то есть $x \ge 0.5$. Ответ: $D(\varphi) = [0.5; +\infty)$.

7) Функция $F(x)=\frac{x-1}{2x+3}$ является дробно-рациональной. Она определена, когда ее знаменатель не равен нулю. Приравниваем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения: $2x+3 = 0$. Решая уравнение, получаем $2x = -3$, откуда $x = -1.5$. Значит, $x$ может быть любым числом, кроме -1.5. Ответ: $D(F) = (-\infty; -1.5) \cup (-1.5; +\infty)$.

8) В функции $f(x)=\frac{2x}{x^2+3}$ знаменатель $x^2+3$ должен быть отличен от нуля. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2+3 \ge 3$. Это означает, что знаменатель всегда положителен и никогда не обращается в ноль. Следовательно, функция определена для всех действительных чисел. Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

9) Область определения функции $g(x)=\frac{3x+1}{x^2-3x+2}$ находится из условия, что знаменатель не равен нулю: $x^2-3x+2 \neq 0$. Найдем корни квадратного уравнения $x^2-3x+2 = 0$, чтобы определить значения, которые $x$ не может принимать. По теореме Виета (сумма корней равна 3, произведение равно 2), корнями являются $x_1=1$ и $x_2=2$. Таким образом, $x$ не может быть равен 1 и 2. Ответ: $D(g) = (-\infty; 1) \cup (1; 2) \cup (2; +\infty)$.