Номер 1.49, страница 31 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.49. Исследуйте функцию на четность:

1) $f(x) = 9;$

2) $g(x) = 0;$

3) $h(x) = (2 - 3x)^3 + (2 + 3x)^3;$

4) $f(x) = (5x - 2)^4 + (5x + 2)^4;$

5) $f(x) = (x - 6)^9(x + 3)^5 + (x + 6)^9(x - 3)^5.$

Чтобы исследовать функцию на четность, необходимо проверить два условия. Во-первых, область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$). Все представленные в задаче функции определены на всей числовой оси $R$, которая является симметричным множеством. Во-вторых, нужно найти значение $f(-x)$ и сравнить его с $f(x)$. Если $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция является четной. Если $f(-x) = -f(x)$, то функция — нечетная. Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция не является ни четной, ни нечетной.

1) f(x) = 9

Дана функция $f(x) = 9$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = 9$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$: $f(-x) = 9$ и $f(x) = 9$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

2) g(x) = 0

Дана функция $g(x) = 0$. Область определения $D(g) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$g(-x) = 0$.

Сравним $g(-x)$ с $g(x)$: $g(-x) = 0 = g(x)$. Следовательно, функция является четной.

Сравним $g(-x)$ с $-g(x)$: $-g(x) = -0 = 0$. Следовательно, $g(-x) = -g(x)$, и функция также является нечетной.

Функция $g(x) = 0$ является единственной функцией, которая одновременно и четная, и нечетная.

Ответ: функция является и четной, и нечетной.

3) h(x) = (2 − 3x)³ + (2 + 3x)³

Дана функция $h(x) = (2 - 3x)^3 + (2 + 3x)^3$. Область определения $D(h) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$h(-x) = (2 - 3(-x))^3 + (2 + 3(-x))^3 = (2 + 3x)^3 + (2 - 3x)^3$.

Сравним $h(-x)$ с $h(x)$. Используя свойство коммутативности сложения, получаем:

$h(-x) = (2 + 3x)^3 + (2 - 3x)^3 = (2 - 3x)^3 + (2 + 3x)^3 = h(x)$.

Так как $h(-x) = h(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

4) f(x) = (5x − 2)⁴ + (5x + 2)⁴

Дана функция $f(x) = (5x - 2)^4 + (5x + 2)^4$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (5(-x) - 2)^4 + (5(-x) + 2)^4 = (-5x - 2)^4 + (-5x + 2)^4$.

Вынесем $-1$ за скобки в каждом слагаемом. Так как степень четная (4), то $(-a)^4 = a^4$:

$f(-x) = (-(5x + 2))^4 + (-(5x - 2))^4 = (5x + 2)^4 + (5x - 2)^4$.

Сравниваем $f(-x)$ с $f(x)$. Используя свойство коммутативности сложения, получаем:

$f(-x) = (5x + 2)^4 + (5x - 2)^4 = (5x - 2)^4 + (5x + 2)^4 = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

5) f(x) = (x − 6)⁹(x + 3)⁵ + (x + 6)⁹(x − 3)⁵

Дана функция $f(x) = (x - 6)^9(x + 3)^5 + (x + 6)^9(x - 3)^5$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = ((-x) - 6)^9((-x) + 3)^5 + ((-x) + 6)^9((-x) - 3)^5$.

$f(-x) = (-(x + 6))^9(-(x - 3))^5 + (-(x - 6))^9(-(x + 3))^5$.

Так как степени 9 и 5 нечетные, то $(-a)^n = -a^n$ для нечетного $n$.

$f(-x) = [(-1)^9(x + 6)^9] \cdot [(-1)^5(x - 3)^5] + [(-1)^9(x - 6)^9] \cdot [(-1)^5(x + 3)^5]$.

$f(-x) = [-(x + 6)^9] \cdot [-(x - 3)^5] + [-(x - 6)^9] \cdot [-(x + 3)^5]$.

Произведение двух отрицательных сомножителей положительно:

$f(-x) = (x + 6)^9(x - 3)^5 + (x - 6)^9(x + 3)^5$.

Сравниваем $f(-x)$ с $f(x)$. Используя свойство коммутативности сложения, получаем:

$f(-x) = (x - 6)^9(x + 3)^5 + (x + 6)^9(x - 3)^5 = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.