Страница 31 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.49. Исследуйте функцию на четность:

1) $f(x) = 9;$

2) $g(x) = 0;$

3) $h(x) = (2 - 3x)^3 + (2 + 3x)^3;$

4) $f(x) = (5x - 2)^4 + (5x + 2)^4;$

5) $f(x) = (x - 6)^9(x + 3)^5 + (x + 6)^9(x - 3)^5.$

Чтобы исследовать функцию на четность, необходимо проверить два условия. Во-первых, область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$). Все представленные в задаче функции определены на всей числовой оси $R$, которая является симметричным множеством. Во-вторых, нужно найти значение $f(-x)$ и сравнить его с $f(x)$. Если $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция является четной. Если $f(-x) = -f(x)$, то функция — нечетная. Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция не является ни четной, ни нечетной.

1) f(x) = 9

Дана функция $f(x) = 9$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = 9$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$: $f(-x) = 9$ и $f(x) = 9$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

2) g(x) = 0

Дана функция $g(x) = 0$. Область определения $D(g) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$g(-x) = 0$.

Сравним $g(-x)$ с $g(x)$: $g(-x) = 0 = g(x)$. Следовательно, функция является четной.

Сравним $g(-x)$ с $-g(x)$: $-g(x) = -0 = 0$. Следовательно, $g(-x) = -g(x)$, и функция также является нечетной.

Функция $g(x) = 0$ является единственной функцией, которая одновременно и четная, и нечетная.

Ответ: функция является и четной, и нечетной.

3) h(x) = (2 − 3x)³ + (2 + 3x)³

Дана функция $h(x) = (2 - 3x)^3 + (2 + 3x)^3$. Область определения $D(h) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$h(-x) = (2 - 3(-x))^3 + (2 + 3(-x))^3 = (2 + 3x)^3 + (2 - 3x)^3$.

Сравним $h(-x)$ с $h(x)$. Используя свойство коммутативности сложения, получаем:

$h(-x) = (2 + 3x)^3 + (2 - 3x)^3 = (2 - 3x)^3 + (2 + 3x)^3 = h(x)$.

Так как $h(-x) = h(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

4) f(x) = (5x − 2)⁴ + (5x + 2)⁴

Дана функция $f(x) = (5x - 2)^4 + (5x + 2)^4$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (5(-x) - 2)^4 + (5(-x) + 2)^4 = (-5x - 2)^4 + (-5x + 2)^4$.

Вынесем $-1$ за скобки в каждом слагаемом. Так как степень четная (4), то $(-a)^4 = a^4$:

$f(-x) = (-(5x + 2))^4 + (-(5x - 2))^4 = (5x + 2)^4 + (5x - 2)^4$.

Сравниваем $f(-x)$ с $f(x)$. Используя свойство коммутативности сложения, получаем:

$f(-x) = (5x + 2)^4 + (5x - 2)^4 = (5x - 2)^4 + (5x + 2)^4 = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

5) f(x) = (x − 6)⁹(x + 3)⁵ + (x + 6)⁹(x − 3)⁵

Дана функция $f(x) = (x - 6)^9(x + 3)^5 + (x + 6)^9(x - 3)^5$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = ((-x) - 6)^9((-x) + 3)^5 + ((-x) + 6)^9((-x) - 3)^5$.

$f(-x) = (-(x + 6))^9(-(x - 3))^5 + (-(x - 6))^9(-(x + 3))^5$.

Так как степени 9 и 5 нечетные, то $(-a)^n = -a^n$ для нечетного $n$.

$f(-x) = [(-1)^9(x + 6)^9] \cdot [(-1)^5(x - 3)^5] + [(-1)^9(x - 6)^9] \cdot [(-1)^5(x + 3)^5]$.

$f(-x) = [-(x + 6)^9] \cdot [-(x - 3)^5] + [-(x - 6)^9] \cdot [-(x + 3)^5]$.

Произведение двух отрицательных сомножителей положительно:

$f(-x) = (x + 6)^9(x - 3)^5 + (x - 6)^9(x + 3)^5$.

Сравниваем $f(-x)$ с $f(x)$. Используя свойство коммутативности сложения, получаем:

$f(-x) = (x - 6)^9(x + 3)^5 + (x + 6)^9(x - 3)^5 = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

1.50. Определите четность функции:

1) $y = (x + 3)|x - 1| + (x - 3)|x + 1|$

2) $y = (x + 5)|x - 3| - (x - 5)|x + 3|$

3) $y = \frac{|x - 7|}{x + 1} + \frac{|x + 7|}{x - 1}$

4) $y = \frac{|x - 4|}{x + 2} + \frac{|x + 4|}{x - 2}$

5) $f(x) = \frac{x^3 - 2x^2}{x + 1} - \frac{x^3 + 2x^2}{x - 1}$

6) $g(x) = \frac{(x - 1)^5}{(3x + 4)^3} - \frac{(x + 1)^5}{(3x - 4)^3}$

1) Для функции $y = (x + 3)|x - 1| + (x - 3)|x + 1|$

Область определения функции — все действительные числа ($D(y) = \mathbb{R}$), она симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для $-x$:

$y(-x) = (-x + 3)|-x - 1| + (-x - 3)|-x + 1|$

Учитывая, что $|-a| = |a|$, выражение можно упростить:

$y(-x) = (3 - x)|-(x+1)| + (-(x+3))|-(x-1)| = (3-x)|x+1| - (x+3)|x-1|$

Вынесем знак минус:

$y(-x) = -(x-3)|x+1| - (x+3)|x-1| = -((x+3)|x-1| + (x-3)|x+1|)$

Таким образом, $y(-x) = -y(x)$, следовательно, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

2) Для функции $y = (x + 5)|x - 3| - (x - 5)|x + 3|$

Область определения функции — все действительные числа ($D(y) = \mathbb{R}$), она симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для $-x$:

$y(-x) = (-x + 5)|-x - 3| - (-x - 5)|-x + 3|$

Учитывая, что $|-a| = |a|$, выражение можно упростить:

$y(-x) = (5 - x)|-(x+3)| - (-(x+5))|-(x-3)| = (5-x)|x+3| + (x+5)|x-3|$

Переставим слагаемые и преобразуем:

$y(-x) = (x+5)|x-3| + (5-x)|x+3| = (x+5)|x-3| - (x-5)|x+3|$

Таким образом, $y(-x) = y(x)$, следовательно, функция является четной.

Ответ: четная.

3) Для функции $y = \frac{|x - 7|}{x + 1} + \frac{|x + 7|}{x - 1}$

Область определения функции $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$, так как знаменатели не могут быть равны нулю ($x \neq \pm 1$). Эта область симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для $-x$:

$y(-x) = \frac{|-x - 7|}{-x + 1} + \frac{|-x + 7|}{-x - 1}$

Упростим выражение:

$y(-x) = \frac{|-(x + 7)|}{1 - x} + \frac{|-(x - 7)|}{-(x + 1)} = \frac{|x + 7|}{-(x - 1)} + \frac{|x - 7|}{-(x + 1)}$

$y(-x) = -\frac{|x + 7|}{x - 1} - \frac{|x - 7|}{x + 1}$

Вынесем знак минус за скобки:

$y(-x) = -\left(\frac{|x - 7|}{x + 1} + \frac{|x + 7|}{x - 1}\right)$

Таким образом, $y(-x) = -y(x)$, следовательно, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

4) Для функции $y = \frac{|x - 4|}{x + 2} + \frac{|x + 4|}{x - 2}$

Область определения функции $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$, так как знаменатели не могут быть равны нулю ($x \neq \pm 2$). Эта область симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для $-x$:

$y(-x) = \frac{|-x - 4|}{-x + 2} + \frac{|-x + 4|}{-x - 2}$

Упростим выражение:

$y(-x) = \frac{|-(x + 4)|}{2 - x} + \frac{|-(x - 4)|}{-(x + 2)} = \frac{|x + 4|}{-(x - 2)} + \frac{|x - 4|}{-(x + 2)}$

$y(-x) = -\frac{|x + 4|}{x - 2} - \frac{|x - 4|}{x + 2}$

Вынесем знак минус за скобки:

$y(-x) = -\left(\frac{|x - 4|}{x + 2} + \frac{|x + 4|}{x - 2}\right)$

Таким образом, $y(-x) = -y(x)$, следовательно, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

5) Для функции $f(x) = \frac{x^3 - 2x^2}{x + 1} - \frac{x^3 + 2x^2}{x - 1}$

Область определения функции $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$, так как знаменатели не могут быть равны нулю ($x \neq \pm 1$). Эта область симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для $-x$:

$f(-x) = \frac{(-x)^3 - 2(-x)^2}{-x + 1} - \frac{(-x)^3 + 2(-x)^2}{-x - 1}$

Упростим выражение:

$f(-x) = \frac{-x^3 - 2x^2}{1 - x} - \frac{-x^3 + 2x^2}{-(x + 1)} = \frac{-(x^3 + 2x^2)}{-(x - 1)} + \frac{x^3 - 2x^2}{x + 1} = \frac{x^3 + 2x^2}{x - 1} - \frac{x^3 - 2x^2}{x + 1}$

Вынесем знак минус за скобки:

$f(-x) = -\left(-\frac{x^3 + 2x^2}{x - 1} + \frac{x^3 - 2x^2}{x + 1}\right) = - \left(\frac{x^3 - 2x^2}{x + 1} - \frac{x^3 + 2x^2}{x - 1}\right)$

Таким образом, $f(-x) = -f(x)$, следовательно, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

6) Для функции $g(x) = \frac{(x - 1)^5}{(3x + 4)^3} - \frac{(x + 1)^5}{(3x - 4)^3}$

Область определения функции $D(g) = \mathbb{R} \setminus \{-\frac{4}{3}, \frac{4}{3}\}$, так как знаменатели не могут быть равны нулю ($x \neq \pm \frac{4}{3}$). Эта область симметрична относительно начала координат.

Найдем значение функции для $-x$:

$g(-x) = \frac{(-x - 1)^5}{(3(-x) + 4)^3} - \frac{(-x + 1)^5}{(3(-x) - 4)^3} = \frac{(-(x + 1))^5}{(-3x + 4)^3} - \frac{(-(x - 1))^5}{(-3x - 4)^3}$

Так как степени 5 и 3 нечетные, то $(-a)^n = -a^n$:

$g(-x) = \frac{-(x + 1)^5}{(-(3x - 4))^3} - \frac{-(x - 1)^5}{(-(3x + 4))^3} = \frac{-(x + 1)^5}{-(3x - 4)^3} - \frac{-(x - 1)^5}{-(3x + 4)^3}$

$g(-x) = \frac{(x + 1)^5}{(3x - 4)^3} - \frac{(x - 1)^5}{(3x + 4)^3}$

Вынесем знак минус за скобки:

$g(-x) = -\left(\frac{(x - 1)^5}{(3x + 4)^3} - \frac{(x + 1)^5}{(3x - 4)^3}\right)$

Таким образом, $g(-x) = -g(x)$, следовательно, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

1.51. Покажите, что для функции $\Psi(x) = 3x + 5x^3 - 2x^5$ верно равенство $\Psi(-x) = -\Psi(x)$.

1.51. Чтобы доказать, что для функции $\psi(x) = 3x + 5x^3 - 2x^5$ выполняется равенство $\psi(-x) = -\psi(x)$, необходимо найти выражения для левой и правой частей этого равенства и показать, что они тождественно равны.

1. Найдем выражение для $\psi(-x)$. Для этого подставим $-x$ вместо $x$ в исходное выражение функции:

$\psi(-x) = 3(-x) + 5(-x)^3 - 2(-x)^5$

Используем свойство нечетной степени: $(-a)^n = -a^n$, если $n$ — нечетное число. В данном случае все степени (1, 3, 5) являются нечетными. Упростим выражение:

$\psi(-x) = -3x + 5(-x^3) - 2(-x^5) = -3x - 5x^3 + 2x^5$

2. Теперь найдем выражение для $-\psi(x)$. Для этого умножим всю функцию $\psi(x)$ на -1:

$-\psi(x) = -(3x + 5x^3 - 2x^5)$

Раскроем скобки, изменив знак каждого слагаемого на противоположный:

$-\psi(x) = -3x - 5x^3 + 2x^5$

3. Сравнивая полученные выражения для $\psi(-x)$ и $-\psi(x)$, мы видим, что они полностью совпадают.

$\psi(-x) = -3x - 5x^3 + 2x^5$

$-\psi(x) = -3x - 5x^3 + 2x^5$

Таким образом, равенство $\psi(-x) = -\psi(x)$ для данной функции является верным. Это свойство означает, что функция $\psi(x)$ является нечетной.

Ответ: Поскольку $\psi(-x) = -3x - 5x^3 + 2x^5$ и $-\psi(x) = -3x - 5x^3 + 2x^5$, то равенство $\psi(-x) = -\psi(x)$ верно, что и требовалось доказать.

1.52. Покажите, что для функции $\Psi(x) = x^4 - 2x^2 - 3$ верно равенство $\Psi(-x) = \Psi(x)$.

Для того чтобы показать, что равенство $\psi(-x) = \psi(x)$ верно для заданной функции, нужно подставить $-x$ в выражение для функции и убедиться, что результат совпадает с исходным выражением.

Исходная функция имеет вид:

$\psi(x) = x^4 - 2x^2 - 3$

Теперь найдем значение функции в точке $-x$. для этого заменим каждый $x$ на $-x$:

$\psi(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 - 3$

Упростим полученное выражение, используя свойство степеней, согласно которому отрицательное число, возведенное в четную степень, становится положительным: $(-a)^{2n} = a^{2n}$.

Возведем в степень каждый член:

$(-x)^4 = x^4$ (так как степень 4 — четное число)

$(-x)^2 = x^2$ (так как степень 2 — четное число)

Подставим эти результаты обратно в выражение для $\psi(-x)$:

$\psi(-x) = x^4 - 2(x^2) - 3 = x^4 - 2x^2 - 3$

Теперь сравним полученное выражение для $\psi(-x)$ с исходным выражением для $\psi(x)$:

$\psi(-x) = x^4 - 2x^2 - 3$

$\psi(x) = x^4 - 2x^2 - 3$

Поскольку правые части обоих равенств идентичны, мы можем заключить, что $\psi(-x) = \psi(x)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Подставив $-x$ в функцию $\psi(x) = x^4 - 2x^2 - 3$, мы получаем $\psi(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 - 3 = x^4 - 2x^2 - 3$, что совпадает с $\psi(x)$. Следовательно, равенство $\psi(-x) = \psi(x)$ верно.

1.53. Известно, что функции $f(x)$ и $g(x)$ возрастают на промежутке $(a; b)$. Докажите, что на этом промежутке функция:

1) $f(x) + g(x)$ возрастает;

2) $f^2(x)$ возрастает;

3) $-f(x)$ убывает;

4) $\frac{1}{f(x)}$ убывает.

По определению, функция $h(x)$ является возрастающей на промежутке $(a; b)$, если для любых $x_1, x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $h(x_2) > h(x_1)$. Функция является убывающей, если при $x_2 > x_1$ выполняется $h(x_2) < h(x_1)$.

По условию задачи функции $f(x)$ и $g(x)$ возрастают на промежутке $(a; b)$. Это означает, что для любых $x_1, x_2 \in (a; b)$ таких, что $x_2 > x_1$, справедливы неравенства: $f(x_2) > f(x_1)$ и $g(x_2) > g(x_1)$.

1) $f(x) + g(x)$ возрастает

Пусть $h(x) = f(x) + g(x)$. Возьмем произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(a; b)$ такие, что $x_2 > x_1$.

Так как $f(x)$ и $g(x)$ возрастают на этом промежутке, то:

$f(x_2) > f(x_1)$

$g(x_2) > g(x_1)$

Сложим эти два неравенства одного знака:

$f(x_2) + g(x_2) > f(x_1) + g(x_1)$

Это означает, что $h(x_2) > h(x_1)$.

Так как для любых $x_2 > x_1$ выполняется $h(x_2) > h(x_1)$, функция $h(x) = f(x) + g(x)$ является возрастающей на промежутке $(a; b)$, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

2) $f^2(x)$ возрастает

Данное утверждение верно не всегда, а только при дополнительном условии, что функция $f(x)$ неотрицательна на данном промежутке, то есть $f(x) \geq 0$ для всех $x \in (a; b)$. Например, функция $f(x) = x$ возрастает на $(-2; 2)$, но функция $f^2(x) = x^2$ не является возрастающей на всем этом промежутке (она убывает на $(-2; 0)$).

Докажем утверждение при условии $f(x) \geq 0$.

Пусть $h(x) = f^2(x)$. Возьмем произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из $(a; b)$ такие, что $x_2 > x_1$. Так как $f(x)$ возрастает, то $f(x_2) > f(x_1)$.

Рассмотрим разность $h(x_2) - h(x_1) = f^2(x_2) - f^2(x_1) = (f(x_2) - f(x_1))(f(x_2) + f(x_1))$.

Первый сомножитель $f(x_2) - f(x_1) > 0$, так как $f(x)$ возрастает.

Второй сомножитель $f(x_2) + f(x_1)$. По условию $f(x) \geq 0$, значит $f(x_1) \geq 0$ и $f(x_2) \geq 0$. Так как $f(x_2) > f(x_1)$, то $f(x_2)$ должно быть строго положительным, поэтому сумма $f(x_2) + f(x_1) > 0$.

Произведение двух положительных множителей положительно: $h(x_2) - h(x_1) > 0$, откуда $h(x_2) > h(x_1)$.

Следовательно, функция $f^2(x)$ возрастает при условии, что $f(x) \geq 0$.

Ответ: утверждение верно при дополнительном условии, что $f(x) \ge 0$ на промежутке $(a; b)$.

3) $-f(x)$ убывает

Пусть $h(x) = -f(x)$. Необходимо доказать, что для любых $x_1, x_2 \in (a; b)$ таких, что $x_2 > x_1$, выполняется $h(x_2) < h(x_1)$.

Из условия, что $f(x)$ возрастает, следует $f(x_2) > f(x_1)$ для $x_2 > x_1$.

Умножим обе части этого неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$-f(x_2) < -f(x_1)$

Это означает, что $h(x_2) < h(x_1)$.

Следовательно, функция $-f(x)$ является убывающей на промежутке $(a; b)$, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

4) $\frac{1}{f(x)}$ убывает

Это утверждение справедливо при условии, что функция $f(x)$ не равна нулю и сохраняет свой знак на всем промежутке $(a; b)$. Для возрастающей функции, если она не равна нулю на интервале, это условие выполняется автоматически.

Пусть $h(x) = \frac{1}{f(x)}$. Возьмем произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из $(a; b)$ такие, что $x_2 > x_1$. Из возрастания $f(x)$ следует $f(x_2) > f(x_1)$.

Рассмотрим два возможных случая:

Случай 1: $f(x) > 0$ на всем промежутке.

Тогда $f(x_2) > f(x_1) > 0$. Так как обе части неравенства положительны, можно взять обратные величины, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{1}{f(x_2)} < \frac{1}{f(x_1)}$

То есть $h(x_2) < h(x_1)$, и функция $h(x)$ убывает.

Случай 2: $f(x) < 0$ на всем промежутке.

Тогда $0 > f(x_2) > f(x_1)$. Произведение $f(x_1)f(x_2)$ положительно. Разделим неравенство $f(x_2) > f(x_1)$ на $f(x_1)f(x_2) > 0$. Знак неравенства не изменится:

$\frac{f(x_2)}{f(x_1)f(x_2)} > \frac{f(x_1)}{f(x_1)f(x_2)}$, что упрощается до $\frac{1}{f(x_1)} > \frac{1}{f(x_2)}$.

Переписав, получаем $\frac{1}{f(x_2)} < \frac{1}{f(x_1)}$, то есть $h(x_2) < h(x_1)$, и функция $h(x)$ также убывает.

В обоих случаях функция $\frac{1}{f(x)}$ убывает.

Ответ: утверждение верно при дополнительном условии, что $f(x)$ не обращается в ноль и сохраняет знак на промежутке $(a; b)$.

1.54. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $f(x) = \sqrt{4x^2 - 12x + 9} - 2;$

2) $g(x) = 3 + \sqrt{x^2 - 3x + 2};$

3) $h(x) = -\frac{2}{x^2 + 1};$

4) $u(x) = \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 + 4x + 5}.$

1) $f(x) = \sqrt{4x^2 - 12x + 9} - 2$

Преобразуем выражение под корнем. Заметим, что $4x^2 - 12x + 9$ является полным квадратом разности, так как $4x^2 = (2x)^2$, $9 = 3^2$ и $12x = 2 \cdot (2x) \cdot 3$.

Следовательно, $4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2$.

Тогда функция принимает вид: $f(x) = \sqrt{(2x - 3)^2} - 2$.

Используя свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$f(x) = |2x - 3| - 2$.

Выражение $|2x - 3|$ принимает только неотрицательные значения. Его наименьшее значение равно 0, и оно достигается при $2x - 3 = 0$, то есть при $x = 1.5$.

Таким образом, наименьшее значение функции $f(x)$ равно $0 - 2 = -2$.

Так как значение $|2x - 3|$ может быть сколь угодно большим при $x \to \infty$ или $x \to -\infty$, функция $f(x)$ не ограничена сверху, и у неё не существует наибольшего значения.

Ответ: наименьшее значение функции равно -2, наибольшего значения не существует.

2) $g(x) = 3 + \sqrt{x^2 - 3x + 2}$

Функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно: $x^2 - 3x + 2 \ge 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 - 3x + 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 3x + 2 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$. Это область определения функции $g(x)$.

Наименьшее значение функции $g(x)$ достигается при наименьшем возможном значении выражения $\sqrt{x^2 - 3x + 2}$. В свою очередь, это происходит при наименьшем значении подкоренного выражения $x^2 - 3x + 2$ на области определения.

На множестве $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$ наименьшее значение выражения $x^2 - 3x + 2$ равно 0 (в точках $x=1$ и $x=2$).

Следовательно, наименьшее значение функции $g(x)$ равно $3 + \sqrt{0} = 3$.

При $x \to \pm\infty$, выражение $x^2 - 3x + 2$ неограниченно возрастает, а значит и значение функции $g(x)$ неограниченно возрастает. Наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение функции равно 3, наибольшего значения не существует.

3) $h(x) = -\frac{2}{x^2 + 1}$

Рассмотрим знаменатель дроби: $x^2 + 1$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Наименьшее значение знаменателя равно 1 и достигается при $x=0$.

Рассмотрим дробь $\frac{2}{x^2+1}$. Так как ее знаменатель $x^2+1$ находится в промежутке $[1, \infty)$, то сама дробь будет принимать значения в промежутке $(0, 2]$. Наибольшее значение $\frac{2}{1} = 2$ достигается при $x=0$. При $x \to \pm\infty$ значение дроби стремится к 0.

Функция $h(x)$ равна этой дроби, взятой со знаком минус. Следовательно, ее значения будут находиться в промежутке $[-2, 0)$.

Наименьшее значение функции $h(x)$ равно -2 (достигается при $x=0$).

Наибольшего значения функция не имеет, так как ее значения стремятся к 0, но никогда не достигают его (всегда $h(x) < 0$).

Ответ: наименьшее значение функции равно -2, наибольшего значения не существует.

4) $u(x) = \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 + 4x + 5}$

Преобразуем данную функцию. Заметим, что числитель является полным квадратом: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$.

Знаменатель можно представить в виде: $x^2 + 4x + 5 = (x^2 + 4x + 4) + 1 = (x+2)^2 + 1$.

Тогда функцию можно переписать так:

$u(x) = \frac{(x+2)^2}{(x+2)^2 + 1}$

Также можно выделить целую часть:

$u(x) = \frac{(x+2)^2 + 1 - 1}{(x+2)^2 + 1} = \frac{(x+2)^2 + 1}{(x+2)^2 + 1} - \frac{1}{(x+2)^2 + 1} = 1 - \frac{1}{(x+2)^2 + 1}$.

Рассмотрим выражение $\frac{1}{(x+2)^2 + 1}$. Его знаменатель $(x+2)^2 + 1$ принимает наименьшее значение, равное 1, при $x=-2$. Следовательно, наибольшее значение дроби равно $\frac{1}{1} = 1$.

Таким образом, наименьшее значение функции $u(x)$ будет:

$u_{min} = 1 - (\text{наибольшее значение } \frac{1}{(x+2)^2 + 1}) = 1 - 1 = 0$.

Это значение достигается при $x=-2$.

При $x \to \pm\infty$, выражение $(x+2)^2 \to \infty$, знаменатель $(x+2)^2+1 \to \infty$, а дробь $\frac{1}{(x+2)^2+1} \to 0$.

Следовательно, значения функции $u(x)$ стремятся к $1 - 0 = 1$. Однако, так как дробь $\frac{1}{(x+2)^2+1}$ всегда положительна, значение функции $u(x)$ всегда меньше 1. Таким образом, наибольшего значения функция не достигает.

Ответ: наименьшее значение функции равно 0, наибольшего значения не существует.

1.55. Сколько корней может иметь уравнение $f(x) = 0$, если известно, что функция $f(x)$ возрастает (убывает) на всей числовой прямой и ее график не имеет точек разрыва? Может ли это уравнение не иметь корней?

Рассмотрим данный вопрос. Уравнение $f(x)=0$ определяет точки пересечения графика функции $y=f(x)$ с осью абсцисс (осью Ox).

По условию, функция $f(x)$ является строго монотонной (возрастает или убывает) на всей числовой прямой, а также непрерывной.

Давайте докажем, что такое уравнение может иметь не более одного корня. Предположим противное: пусть существуют два различных корня $x_1$ и $x_2$. Пусть для определенности $x_1 < x_2$. Так как $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения, то $f(x_1) = 0$ и $f(x_2) = 0$.

• Если функция $f(x)$ возрастает, то из $x_1 < x_2$ следует, что $f(x_1) < f(x_2)$. Подставив значения, получаем $0 < 0$, что является противоречием.
• Если функция $f(x)$ убывает, то из $x_1 < x_2$ следует, что $f(x_1) > f(x_2)$. Подставив значения, получаем $0 > 0$, что также является противоречием.

Следовательно, наше предположение о существовании двух различных корней неверно. Таким образом, уравнение может иметь не более одного корня. Графически это означает, что непрерывный монотонный график может пересечь ось Ox только в одной точке.

Пример графика монотонной функции, имеющей один корень:

Теперь ответим на второй вопрос: может ли это уравнение не иметь корней?

Да, может. Это произойдет в том случае, если множество значений (область значений) функции $f(x)$ не содержит числа 0. Поскольку функция непрерывна и монотонна на всей числовой прямой, это означает, что ее график полностью расположен либо выше оси Ox (и тогда $f(x) > 0$ для всех $x$), либо ниже оси Ox (и тогда $f(x) < 0$ для всех $x$).

Приведем примеры:

• Функция $f(x) = e^x$ является возрастающей и непрерывной на всей числовой прямой. Ее значения всегда положительны ($e^x > 0$), поэтому уравнение $e^x = 0$ не имеет корней.
• Функция $f(x) = \arctan(x) - 2$ является возрастающей и непрерывной. Ее область значений — интервал $(-\frac{\pi}{2} - 2, \frac{\pi}{2} - 2)$, который примерно равен $(-3.57, -0.43)$. Все значения функции отрицательны, поэтому уравнение $\arctan(x) - 2 = 0$ не имеет корней.

Пример графика монотонной функции, не имеющей корней:

Ответ: Уравнение $f(x)=0$ для функции, которая возрастает (убывает) и непрерывна на всей числовой прямой, может иметь один корень или не иметь корней совсем.