Страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.29. Найдите нули функции:

1) $f(x) = 2x - 3$;

2) $\varphi(x) = 3 - |x|$;

3) $h(x) = 2x^2 + 5x - 7$;

4) $v(x) = 4 - x - 3x^2$;

5) $\psi(x) = \sqrt{x^2 + x}$;

6) $F(x) = \sqrt{x - x^2 + 2}$;

7) $g(x) = \frac{x+1}{2x^2 + 5x + 3}$;

8) $f(x) = \frac{x^2 + 5x - 6}{x - 1}$;

9) $h(x) = \frac{x^2 + 5x - 6}{2x^2 + 5x + 3}$.

1) $f(x) = 2x - 3$
Чтобы найти нули функции, необходимо приравнять значение функции к нулю и решить полученное уравнение:
$f(x) = 0$
$2x - 3 = 0$
$2x = 3$
$x = \frac{3}{2} = 1.5$
Ответ: $1.5$.

2) $\varphi(x) = 3 - |x|$
Приравниваем функцию к нулю:
$\varphi(x) = 0$
$3 - |x| = 0$
$|x| = 3$
Это уравнение имеет два решения:
$x_1 = 3$ и $x_2 = -3$
Ответ: $-3; 3$.

3) $h(x) = 2x^2 + 5x - 7$
Приравниваем функцию к нулю, получаем квадратное уравнение:
$2x^2 + 5x - 7 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^2$
Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-5 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -3.5$
$x_2 = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
Ответ: $-3.5; 1$.

4) $v(x) = 4 - x - 3x^2$
Приравниваем функцию к нулю:
$4 - x - 3x^2 = 0$
Умножим уравнение на $-1$ для удобства:
$3x^2 + x - 4 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 = 7^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$
$x_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$
Ответ: $-\frac{4}{3}; 1$.

5) $\psi(x) = \sqrt{x^2 + x}$
Нуль функции достигается там, где подкоренное выражение равно нулю. Также необходимо учесть область определения функции: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Область определения: $x^2 + x \ge 0 \implies x(x+1) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$.
Приравниваем функцию к нулю:
$\sqrt{x^2 + x} = 0$
$x^2 + x = 0$
$x(x+1) = 0$
Получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.
Оба корня принадлежат области определения функции.
Ответ: $-1; 0$.

6) $F(x) = \sqrt{x - x^2 + 2}$
Область определения функции: $x - x^2 + 2 \ge 0 \implies -x^2 + x + 2 \ge 0 \implies x^2 - x - 2 \le 0$.
Корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ равны $x_1 = -1, x_2 = 2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in [-1, 2]$.
Приравниваем функцию к нулю:
$\sqrt{x - x^2 + 2} = 0$
$x - x^2 + 2 = 0$
$x^2 - x - 2 = 0$
Корни этого уравнения $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
Оба корня принадлежат области определения функции.
Ответ: $-1; 2$.

7) $g(x) = \frac{x+1}{2x^2+5x+3}$
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Приравняем числитель к нулю:
$x + 1 = 0 \implies x = -1$
Проверим, не обращается ли знаменатель в нуль при $x = -1$:
$2(-1)^2 + 5(-1) + 3 = 2 \cdot 1 - 5 + 3 = 2 - 5 + 3 = 0$
Так как при $x = -1$ знаменатель равен нулю, это значение не входит в область определения функции и не может быть ее нулем.
Ответ: нулей нет.

8) $f(x) = \frac{x^2+5x-6}{x-1}$
Приравняем числитель к нулю:
$x^2 + 5x - 6 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = -6$ и $x_2 = 1$.
Проверим знаменатель. Знаменатель $x-1$ обращается в нуль при $x=1$.
Следовательно, $x=1$ не является нулем функции, так как не входит в область ее определения.
Корень $x = -6$ является нулем функции, так как при этом значении знаменатель $ -6 - 1 = -7 \ne 0$.
Ответ: $-6$.

9) $h(x) = \frac{x^2+5x-6}{2x^2+5x+3}$
Приравняем числитель к нулю:
$x^2 + 5x - 6 = 0$
Корни этого уравнения (из предыдущего задания) $x_1 = -6$ и $x_2 = 1$.
Найдем, при каких значениях $x$ знаменатель обращается в нуль:
$2x^2 + 5x + 3 = 0$
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$
$x = \frac{-5 \pm 1}{4} \implies x_3 = -\frac{3}{2}, x_4 = -1$.
Знаменатель не равен нулю при $x=-6$ и $x=1$.
Проверим $x_1=-6$: $2(-6)^2 + 5(-6) + 3 = 72 - 30 + 3 = 45 \ne 0$.
Проверим $x_2=1$: $2(1)^2 + 5(1) + 3 = 2 + 5 + 3 = 10 \ne 0$.
Оба значения, $-6$ и $1$, являются нулями функции.
Ответ: $-6; 1$.

1.30. Докажите непрерывность функции, в противном случае найдите точки разрыва:

1) $y = 2x^2 + x + 1;$

2) $y = 3 - x;$

3) $y = \frac{21x - 9}{3x - 1};$

4) $y = \frac{4x + 31}{x + 7};$

5) $y = \frac{x^3 + 8}{x + 2};$

6) $y = \frac{x^3 - 27}{x - 3};$

7) $y = \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 + 3x + 2};$

8) $y = \frac{(x^3 + 8)(x - 4)}{x^2 - 2x - 8}.$

1) $y = 2x^2 + x + 1$

Данная функция является многочленом (квадратичной функцией). Область определения многочлена — все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Любой многочлен является непрерывной функцией на всей своей области определения. Следовательно, данная функция непрерывна на всей числовой оси и не имеет точек разрыва.

Ответ: функция непрерывна на всей числовой оси, точек разрыва нет.

2) $y = 3 - x$

Данная функция является многочленом (линейной функцией). Область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Функция непрерывна на всей своей области определения, так как является элементарной функцией, определенной на всей числовой прямой. Следовательно, данная функция не имеет точек разрыва.

Ответ: функция непрерывна на всей числовой оси, точек разрыва нет.

3) $y = \frac{21x - 9}{3x - 1}$

Данная функция является рациональной. Она непрерывна на всей своей области определения. Точки разрыва могут существовать только в тех точках, где знаменатель обращается в ноль, так как в этих точках функция не определена.
Найдем эти точки:
$3x - 1 = 0 \implies 3x = 1 \implies x = \frac{1}{3}$.
Таким образом, $x = \frac{1}{3}$ является точкой разрыва. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этой точке:
$\lim_{x \to \frac{1}{3}+0} \frac{21x - 9}{3x - 1} = \frac{21(\frac{1}{3}) - 9}{+0} = \frac{7 - 9}{+0} = \frac{-2}{+0} = -\infty$.
$\lim_{x \to \frac{1}{3}-0} \frac{21x - 9}{3x - 1} = \frac{-2}{-0} = +\infty$.
Поскольку односторонние пределы равны бесконечности, в точке $x = \frac{1}{3}$ функция имеет разрыв второго рода.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$ — точка разрыва второго рода.

4) $y = \frac{4x + 31}{x + 7}$

Функция является рациональной. Точка разрыва — это точка, в которой знаменатель равен нулю:
$x + 7 = 0 \implies x = -7$.
Вычислим односторонние пределы в точке $x = -7$:
$\lim_{x \to -7+0} \frac{4x + 31}{x + 7} = \frac{4(-7) + 31}{-7+0 + 7} = \frac{-28 + 31}{+0} = \frac{3}{+0} = +\infty$.
$\lim_{x \to -7-0} \frac{4x + 31}{x + 7} = \frac{3}{-0} = -\infty$.
Так как пределы бесконечны, в точке $x = -7$ функция имеет разрыв второго рода.

Ответ: $x = -7$ — точка разрыва второго рода.

5) $y = \frac{x^3 + 8}{x + 2}$

Функция является рациональной. Точка разрыва — это точка, в которой знаменатель равен нулю:
$x + 2 = 0 \implies x = -2$.
Чтобы определить тип разрыва, найдем предел функции в этой точке. Разложим числитель по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$.
$\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x + 2} = \lim_{x \to -2} \frac{(x+2)(x^2 - 2x + 4)}{x + 2} = \lim_{x \to -2} (x^2 - 2x + 4) = (-2)^2 - 2(-2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$.
Предел в точке $x = -2$ существует и конечен, но функция в этой точке не определена. Следовательно, в точке $x = -2$ функция имеет устранимый разрыв.

Ответ: $x = -2$ — точка устранимого разрыва.

6) $y = \frac{x^3 - 27}{x - 3}$

Функция является рациональной. Точка разрыва — это точка, в которой знаменатель равен нулю:
$x - 3 = 0 \implies x = 3$.
Найдем предел функции в этой точке. Разложим числитель по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x-3)(x^2 + 3x + 9)$.
$\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 27}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x^2 + 3x + 9)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x^2 + 3x + 9) = 3^2 + 3(3) + 9 = 9 + 9 + 9 = 27$.
Предел в точке $x = 3$ существует и конечен. Следовательно, в точке $x = 3$ функция имеет устранимый разрыв.

Ответ: $x = 3$ — точка устранимого разрыва.

7) $y = \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 + 3x + 2}$

Функция является рациональной. Точки разрыва — это точки, в которых знаменатель равен нулю:
$x^2 + 3x + 2 = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = -2$.
Разложим числитель и знаменатель на множители:
$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$.
$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$.
Тогда $y = \frac{(x+2)^2}{(x+1)(x+2)}$.
Исследуем каждую точку разрыва:
1. Точка $x = -2$.
$\lim_{x \to -2} \frac{(x+2)^2}{(x+1)(x+2)} = \lim_{x \to -2} \frac{x+2}{x+1} = \frac{-2+2}{-2+1} = \frac{0}{-1} = 0$.
Предел существует и конечен, значит $x = -2$ — точка устранимого разрыва.
2. Точка $x = -1$.
Для исследования этой точки используем упрощенное выражение $y = \frac{x+2}{x+1}$ (при $x \neq -2$).
$\lim_{x \to -1+0} \frac{x+2}{x+1} = \frac{-1+2}{+0} = \frac{1}{+0} = +\infty$.
$\lim_{x \to -1-0} \frac{x+2}{x+1} = \frac{-1+2}{-0} = \frac{1}{-0} = -\infty$.
Пределы бесконечны, значит $x = -1$ — точка разрыва второго рода.

Ответ: $x = -2$ — точка устранимого разрыва, $x = -1$ — точка разрыва второго рода.

8) $y = \frac{(x^3 + 8)(x - 4)}{x^2 - 2x - 8}$

Функция является рациональной. Точки разрыва — это точки, в которых знаменатель равен нулю:
$x^2 - 2x - 8 = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 4$, $x_2 = -2$.
Разложим числитель и знаменатель на множители:
Числитель: $(x^3 + 8)(x-4) = (x+2)(x^2 - 2x + 4)(x-4)$.
Знаменатель: $x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2)$.
Тогда $y = \frac{(x+2)(x^2 - 2x + 4)(x-4)}{(x-4)(x+2)}$.
При $x \neq 4$ и $x \neq -2$ функцию можно сократить до $y = x^2 - 2x + 4$.
Исследуем каждую точку разрыва, вычисляя предел упрощенной функции:
1. Точка $x = -2$.
$\lim_{x \to -2} (x^2 - 2x + 4) = (-2)^2 - 2(-2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$.
Предел существует и конечен, значит $x = -2$ — точка устранимого разрыва.
2. Точка $x = 4$.
$\lim_{x \to 4} (x^2 - 2x + 4) = 4^2 - 2(4) + 4 = 16 - 8 + 4 = 12$.
Предел существует и конечен, значит $x = 4$ — точка устранимого разрыва.

Ответ: $x = -2$ и $x = 4$ — точки устранимого разрыва.

1.31. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = 2x - 3$;

2) $g(x) = -3x + 2$;

3) $f(x) = |x|$;

4) $u(x) = |x - 2|$;

5) $h(x) = \frac{x^2}{2}$;

6) $r(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2.

1) f(x) = 2x - 3;

Данная функция является линейной функцией вида $y = kx + b$. В данном случае угловой коэффициент $k = 2$. Поскольку угловой коэффициент положителен ($k > 0$), функция является возрастающей на всей своей области определения. Область определения для любой линейной функции — это множество всех действительных чисел, то есть промежуток $(-\infty; +\infty)$.

Таким образом, функция возрастает на всём промежутке $(-\infty; +\infty)$ и не имеет промежутков убывания.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

2) g(x) = -3x + 2;

Это также линейная функция вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = -3$. Так как угловой коэффициент отрицателен ($k < 0$), функция является убывающей на всей своей области определения, которой является множество всех действительных чисел $(-\infty; +\infty)$.

Следовательно, функция убывает на всём промежутке $(-\infty; +\infty)$ и не имеет промежутков возрастания.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

3) f(x) = |x|;

Функция модуля определяется кусочно: $f(x) = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

1. На промежутке $(-\infty, 0)$ функция совпадает с $y = -x$. Это линейная функция с коэффициентом $k=-1 < 0$, следовательно, на этом промежутке функция убывает.

2. На промежутке $(0, +\infty)$ функция совпадает с $y = x$. Это линейная функция с коэффициентом $k=1 > 0$, следовательно, на этом промежутке функция возрастает.

Точка $x=0$ является точкой минимума. Граничную точку принято включать в оба промежутка монотонности.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

4) u(x) = |x - 2|;

График этой функции получается из графика $y = |x|$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Функцию можно записать кусочно: $u(x) = \begin{cases} x-2, & \text{если } x \ge 2 \\ -(x-2), & \text{если } x < 2 \end{cases}$.

1. На промежутке $(-\infty, 2)$ функция равна $y = -x+2$. Коэффициент $k=-1 < 0$, значит, функция убывает.

2. На промежутке $(2, +\infty)$ функция равна $y = x-2$. Коэффициент $k=1 > 0$, значит, функция возрастает.

Точка $x=2$ является точкой минимума.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на промежутке $[2, +\infty)$.

5) h(x) = x²/2;

Это квадратичная функция $y = ax^2+bx+c$, где $a = 1/2$, $b=0$, $c=0$. Её график — парабола. Поскольку коэффициент $a = 1/2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_0 = -b/(2a) = 0$. Слева от вершины (при $x < 0$) парабола убывает, а справа от вершины (при $x > 0$) — возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

6) r(x) = -1/2*x² + 2;

Это квадратичная функция $y = ax^2+bx+c$, где $a = -1/2$, $b=0$, $c=2$. График — парабола. Поскольку коэффициент $a = -1/2 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_0 = -b/(2a) = 0$ и ординатой $y_0 = r(0) = 2$. Слева от вершины (при $x < 0$) парабола возрастает, а справа от вершины (при $x > 0$) — убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

1.32. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = (x - 2)^2;$

2) $g(x) = -(x - 3)^2;$

3) $u(x) = (x - 1)^2 - 3;$

4) $h(x) = 3 - (x - 3)^2;$

5) $r(x) = x^2 - 4x + 5;$

6) $h(x) = -2x^2 + 6x - 7.$

1) Функция $f(x) = (x - 2)^2$ является квадратичной, её график — парабола. Уравнение представлено в виде $f(x) = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины.
В данном случае коэффициент $a=1$, а абсцисса вершины $h=2$.
Поскольку $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы, находящаяся в точке $x=2$, является точкой минимума.
Следовательно, функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает справа от неё.
Промежуток убывания: $(-\infty, 2]$.
Промежуток возрастания: $[2, +\infty)$.
Ответ: промежуток возрастания: $[2, +\infty)$; промежуток убывания: $(-\infty, 2]$.

2) Функция $g(x) = -(x - 3)^2$ является квадратичной, её график — парабола. Уравнение представлено в виде $g(x) = a(x - h)^2 + k$.
В данном случае коэффициент $a=-1$, а абсцисса вершины $h=3$.
Поскольку $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы, находящаяся в точке $x=3$, является точкой максимума.
Следовательно, функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает справа от неё.
Промежуток возрастания: $(-\infty, 3]$.
Промежуток убывания: $[3, +\infty)$.
Ответ: промежуток возрастания: $(-\infty, 3]$; промежуток убывания: $[3, +\infty)$.

3) Функция $u(x) = (x - 1)^2 - 3$ является квадратичной, её график — парабола. Уравнение представлено в виде $u(x) = a(x - h)^2 + k$.
В данном случае коэффициент $a=1$, а абсцисса вершины $h=1$.
Поскольку $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы, находящаяся в точке $x=1$, является точкой минимума.
Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.
Ответ: промежуток возрастания: $[1, +\infty)$; промежуток убывания: $(-\infty, 1]$.

4) Функция $h(x) = 3 - (x - 3)^2$ является квадратичной. Перепишем её в стандартном виде $h(x) = -(x - 3)^2 + 3$. Её график — парабола.
В данном случае коэффициент $a=-1$, а абсцисса вершины $h=3$.
Поскольку $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы, находящаяся в точке $x=3$, является точкой максимума.
Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 3]$ и убывает на промежутке $[3, +\infty)$.
Ответ: промежуток возрастания: $(-\infty, 3]$; промежуток убывания: $[3, +\infty)$.

5) Функция $r(x) = x^2 - 4x + 5$ является квадратичной, её график — парабола. Функция задана в виде $r(x) = ax^2 + bx + c$.
Здесь $a = 1$, $b = -4$. Поскольку $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Найдём абсциссу вершины параболы по формуле $x_v = -b/(2a)$:
$x_v = -(-4) / (2 \cdot 1) = 2$.
Вершина в точке $x=2$ является точкой минимума. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на промежутке $[2, +\infty)$.
Ответ: промежуток возрастания: $[2, +\infty)$; промежуток убывания: $(-\infty, 2]$.

6) Функция $h(x) = -2x^2 + 6x - 7$ является квадратичной, её график — парабола. Функция задана в виде $h(x) = ax^2 + bx + c$.
Здесь $a = -2$, $b = 6$. Поскольку $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Найдём абсциссу вершины параболы по формуле $x_v = -b/(2a)$:
$x_v = -6 / (2 \cdot (-2)) = -6 / (-4) = 3/2 = 1.5$.
Вершина в точке $x=1.5$ является точкой максимума. Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1.5]$ и убывает на промежутке $[1.5, +\infty)$.
Ответ: промежуток возрастания: $(-\infty, 1.5]$; промежуток убывания: $[1.5, +\infty)$.

1.33. Какие известные вам функции на всей числовой оси:

1) не имеют экстремумов;

2) имеют только один экстремум?

1) не имеют экстремумов

Функции, не имеющие экстремумов на всей числовой оси, — это, как правило, строго монотонные функции, то есть функции, которые на всей своей области определения либо только возрастают, либо только убывают. Экстремум (локальный максимум или минимум) — это точка, в которой производная функции меняет знак. Если производная сохраняет знак (или вообще не равна нулю), экстремумов нет.

Приведем несколько классов таких функций:

а) Линейная функция вида $y = kx + b$ при $k \neq 0$.
Ее производная $y' = k$ является константой и никогда не равна нулю. Если $k > 0$, функция строго возрастает на всей числовой оси. Если $k < 0$, функция строго убывает. В обоих случаях экстремумов нет. Например, $y = 2x - 1$ или $y = -x$.

б) Кубическая функция вида $y = ax^3 + bx + c$, у которой производная не меняет знак.
Например, функция $y = x^3$. Ее производная $y' = 3x^2$. Производная равна нулю в точке $x=0$, но не меняет свой знак при переходе через эту точку (она неотрицательна: $3x^2 \ge 0$). Точка $x=0$ является точкой перегиба, а не экстремумом. Функция является неубывающей (и строго возрастающей везде, кроме $x=0$).
Другой пример — $y = x^3 + x$. Ее производная $y' = 3x^2 + 1$ всегда положительна, поэтому функция строго возрастает и не имеет экстремумов.

в) Показательная (экспоненциальная) функция вида $y = a^x$, где $a > 0$ и $a \neq 1$.
Производная $y' = a^x \ln a$. Так как $a^x > 0$ для любого $x$, знак производной постоянен и зависит от знака $\ln a$. Если $a > 1$, то $\ln a > 0$, и функция строго возрастает. Если $0 < a < 1$, то $\ln a < 0$, и функция строго убывает. В обоих случаях производная не равна нулю и не меняет знак, следовательно, экстремумов нет. Например, $y = e^x$ или $y = (0.5)^x$.

г) Функция арктангенса $y = \arctan(x)$.
Эта функция определена на всей числовой оси. Ее производная $y' = \frac{1}{1+x^2}$ всегда положительна. Следовательно, функция строго возрастает и не имеет экстремумов.

Ответ: Линейные функции $y = kx + b$ (при $k \neq 0$), некоторые кубические функции (например, $y = x^3$, $y = x^3+x$), показательные функции $y = a^x$ (при $a>0, a\neq1$), функция арктангенса $y = \arctan(x)$.

2) имеют только один экстремум

Функции, имеющие только один экстремум на всей числовой оси, — это функции, у которых есть ровно одна точка локального максимума или минимума. Часто этот локальный экстремум является также и глобальным (наибольшим или наименьшим значением функции).

Приведем несколько примеров таких функций:

а) Квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$ при $a \neq 0$.
Графиком является парабола, вершина которой и есть единственная точка экстремума. Найдем производную: $y' = 2ax + b$. Приравняв ее к нулю, получим единственную критическую точку $x = -\frac{b}{2a}$. Если $a > 0$, это точка минимума (ветви параболы направлены вверх). Если $a < 0$, это точка максимума (ветви вниз). Например, функция $y = x^2 - 4x + 5$ имеет один минимум в точке $x=2$.

б) Степенные функции с четным показателем вида $y = x^{2n}$ для натурального $n$.
Например, функция $y = x^4$. Ее производная $y' = 4x^3$. Производная равна нулю только в точке $x=0$. Слева от нуля ($x<0$) производная отрицательна (функция убывает), а справа ($x>0$) — положительна (функция возрастает). Следовательно, в точке $x=0$ находится единственный экстремум — точка минимума.

в) Функция модуля $y = |x|$.
Эта функция не является гладкой в точке $x=0$, ее производная в этой точке не существует. Однако, исходя из определения, точка $x=0$ является точкой минимума, так как $y(0)=0$ и $y(x) > 0$ для всех $x \neq 0$. Это единственный экстремум функции. Обобщенный вид — $y = a|x-h|+k$ при $a\neq 0$.

г) Другие типы функций.
Например, функция $y = xe^x$. Ее производная $y' = e^x + xe^x = e^x(1+x)$. Производная равна нулю при $x=-1$. При $x < -1$ производная отрицательна, а при $x > -1$ — положительна. Таким образом, функция имеет единственный экстремум (минимум) в точке $x=-1$.
Другой пример: $y=e^{-x^2}$ (функция Гаусса). Ее производная $y' = e^{-x^2}(-2x)$. Она равна нулю в точке $x=0$. При $x<0$ производная положительна (функция возрастает), при $x>0$ отрицательна (функция убывает). Значит, в $x=0$ находится единственный экстремум (максимум).

Ответ: Квадратичные функции $y = ax^2 + bx + c$ (при $a \neq 0$), степенные функции с четным показателем (например, $y=x^2, y=x^6$), функция модуля $y = |x|$, а также другие функции, например, $y = xe^x$ или $y=e^{-x^2}$.

1.34. Найдите экстремумы функции:

1) $y = (x - 1)^2 + 5;$

2) $y = 12x^2 - x - 1;$

3) $y = 3 - (x + 2)^2;$

4) $y = (x - 1)(x - 3).$

1) Дана функция $y = (x - 1)^2 + 5$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Уравнение представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины. В данном случае коэффициент при скобке $a=1$, $h=1$ и $k=5$.Поскольку $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что в вершине параболы функция достигает своего наименьшего значения (минимума).Координаты вершины параболы — $(1, 5)$.Следовательно, точка минимума функции $x_{min} = 1$, а минимальное значение функции (экстремум) $y_{min} = 5$.
Ответ: $y_{min} = 5$ при $x=1$.

2) Дана функция $y = 12x^2 - x - 1$. Это квадратичная функция, заданная в общем виде $y = ax^2 + bx + c$. Здесь коэффициенты $a=12$, $b=-1$, $c=-1$.Поскольку коэффициент $a=12 > 0$, ветви параболы направлены вверх, следовательно, функция имеет минимум в своей вершине.Абсциссу вершины параболы (точку экстремума) находим по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.$x_v = -\frac{-1}{2 \cdot 12} = \frac{1}{24}$.Для нахождения экстремума (минимального значения функции) подставим найденное значение $x$ в уравнение функции:$y_{min} = 12\left(\frac{1}{24}\right)^2 - \frac{1}{24} - 1 = 12 \cdot \frac{1}{576} - \frac{1}{24} - 1 = \frac{12}{576} - \frac{1}{24} - 1$.Сократим дробь $\frac{12}{576} = \frac{1}{48}$.$y_{min} = \frac{1}{48} - \frac{2}{48} - \frac{48}{48} = \frac{1 - 2 - 48}{48} = -\frac{49}{48}$.
Ответ: $y_{min} = -\frac{49}{48}$ при $x=\frac{1}{24}$.

3) Дана функция $y = 3 - (x + 2)^2$. Перепишем ее в стандартной вершинной форме $y = -(x - (-2))^2 + 3$.Это парабола с коэффициентом $a=-1$, и координатами вершины $(h, k) = (-2, 3)$.Поскольку $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что в вершине функция достигает своего наибольшего значения (максимума).Координаты вершины — $(-2, 3)$.Следовательно, точка максимума функции $x_{max} = -2$, а максимальное значение функции (экстремум) $y_{max} = 3$.
Ответ: $y_{max} = 3$ при $x=-2$.

4) Дана функция $y = (x - 1)(x - 3)$. Это квадратичная функция, заданная через свои корни $x_1=1$ и $x_2=3$. Раскроем скобки, чтобы получить общий вид:$y = x^2 - 3x - x + 3 = x^2 - 4x + 3$.Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх, и функция имеет минимум.Абсцисса вершины параболы находится посередине между корнями:$x_v = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.Теперь найдем минимальное значение функции (экстремум), подставив $x=2$ в исходное уравнение:$y_{min} = (2 - 1)(2 - 3) = 1 \cdot (-1) = -1$.
Ответ: $y_{min} = -1$ при $x=2$.

1.35. Найдите для функции $y = (x - 3)(x - 5)$ наибольшее и наименьшее значения на промежутке:

1) $[2; 3];$

2) $[3; 4];$

3) $[4; 5];$

4) $[2; 5].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = (x - 3)(x - 5)$ на заданных промежутках, сначала проанализируем саму функцию. Раскрыв скобки, получим $y = x^2 - 8x + 15$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Своё наименьшее значение функция достигает в вершине.

Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_v = -b/(2a)$. Для нашей функции $a=1, b=-8$, поэтому $x_v = -(-8) / (2 \cdot 1) = 4$.

Значение функции в вершине: $y(4) = (4 - 3)(4 - 5) = 1 \cdot (-1) = -1$.

Таким образом, точка минимума функции — $x=4$. На любом отрезке наибольшее и наименьшее значения достигаются либо в точке экстремума (если она принадлежит отрезку), либо на концах отрезка. Слева от точки $x=4$ функция убывает, а справа — возрастает.

1) На промежутке $[2; 3]$.

Точка минимума $x=4$ не принадлежит этому промежутку. На отрезке $[2; 3]$, который находится левее вершины, функция монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается на левом конце, а наименьшее — на правом.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(2) = (2 - 3)(2 - 5) = (-1)(-3) = 3$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(3) = (3 - 3)(3 - 5) = 0 \cdot (-2) = 0$.

Ответ: наибольшее значение 3, наименьшее значение 0.

2) На промежутке $[3; 4]$.

Точка минимума $x=4$ является правым концом этого промежутка. На отрезке $[3; 4]$ функция монотонно убывает. Наибольшее значение достигается на левом конце, а наименьшее — на правом.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(3) = (3 - 3)(3 - 5) = 0 \cdot (-2) = 0$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(4) = (4 - 3)(4 - 5) = 1 \cdot (-1) = -1$.

Ответ: наибольшее значение 0, наименьшее значение -1.

3) На промежутке $[4; 5]$.

Точка минимума $x=4$ является левым концом этого промежутка. На отрезке $[4; 5]$, который находится правее вершины, функция монотонно возрастает. Наименьшее значение достигается на левом конце, а наибольшее — на правом.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(4) = (4 - 3)(4 - 5) = 1 \cdot (-1) = -1$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(5) = (5 - 3)(5 - 5) = 2 \cdot 0 = 0$.

Ответ: наибольшее значение 0, наименьшее значение -1.

4) На промежутке $[2; 5]$.

Точка минимума $x=4$ принадлежит этому промежутку. Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке достигается в этой точке: $y_{наим} = y(4) = -1$.

Для нахождения наибольшего значения необходимо сравнить значения функции на концах отрезка.

$y(2) = (2 - 3)(2 - 5) = (-1)(-3) = 3$.

$y(5) = (5 - 3)(5 - 5) = 2 \cdot 0 = 0$.

Сравнивая значения $y(2)=3$ и $y(5)=0$, заключаем, что наибольшее значение равно 3.

Ответ: наибольшее значение 3, наименьшее значение -1.