Номер 1.29, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.29. Найдите нули функции:

1) $f(x) = 2x - 3$;

2) $\varphi(x) = 3 - |x|$;

3) $h(x) = 2x^2 + 5x - 7$;

4) $v(x) = 4 - x - 3x^2$;

5) $\psi(x) = \sqrt{x^2 + x}$;

6) $F(x) = \sqrt{x - x^2 + 2}$;

7) $g(x) = \frac{x+1}{2x^2 + 5x + 3}$;

8) $f(x) = \frac{x^2 + 5x - 6}{x - 1}$;

9) $h(x) = \frac{x^2 + 5x - 6}{2x^2 + 5x + 3}$.

1) $f(x) = 2x - 3$
Чтобы найти нули функции, необходимо приравнять значение функции к нулю и решить полученное уравнение:
$f(x) = 0$
$2x - 3 = 0$
$2x = 3$
$x = \frac{3}{2} = 1.5$
Ответ: $1.5$.

2) $\varphi(x) = 3 - |x|$
Приравниваем функцию к нулю:
$\varphi(x) = 0$
$3 - |x| = 0$
$|x| = 3$
Это уравнение имеет два решения:
$x_1 = 3$ и $x_2 = -3$
Ответ: $-3; 3$.

3) $h(x) = 2x^2 + 5x - 7$
Приравниваем функцию к нулю, получаем квадратное уравнение:
$2x^2 + 5x - 7 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^2$
Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-5 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -\frac{7}{2} = -3.5$
$x_2 = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
Ответ: $-3.5; 1$.

4) $v(x) = 4 - x - 3x^2$
Приравниваем функцию к нулю:
$4 - x - 3x^2 = 0$
Умножим уравнение на $-1$ для удобства:
$3x^2 + x - 4 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 = 7^2$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$
$x_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$
Ответ: $-\frac{4}{3}; 1$.

5) $\psi(x) = \sqrt{x^2 + x}$
Нуль функции достигается там, где подкоренное выражение равно нулю. Также необходимо учесть область определения функции: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Область определения: $x^2 + x \ge 0 \implies x(x+1) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$.
Приравниваем функцию к нулю:
$\sqrt{x^2 + x} = 0$
$x^2 + x = 0$
$x(x+1) = 0$
Получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.
Оба корня принадлежат области определения функции.
Ответ: $-1; 0$.

6) $F(x) = \sqrt{x - x^2 + 2}$
Область определения функции: $x - x^2 + 2 \ge 0 \implies -x^2 + x + 2 \ge 0 \implies x^2 - x - 2 \le 0$.
Корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$ равны $x_1 = -1, x_2 = 2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in [-1, 2]$.
Приравниваем функцию к нулю:
$\sqrt{x - x^2 + 2} = 0$
$x - x^2 + 2 = 0$
$x^2 - x - 2 = 0$
Корни этого уравнения $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
Оба корня принадлежат области определения функции.
Ответ: $-1; 2$.

7) $g(x) = \frac{x+1}{2x^2+5x+3}$
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Приравняем числитель к нулю:
$x + 1 = 0 \implies x = -1$
Проверим, не обращается ли знаменатель в нуль при $x = -1$:
$2(-1)^2 + 5(-1) + 3 = 2 \cdot 1 - 5 + 3 = 2 - 5 + 3 = 0$
Так как при $x = -1$ знаменатель равен нулю, это значение не входит в область определения функции и не может быть ее нулем.
Ответ: нулей нет.

8) $f(x) = \frac{x^2+5x-6}{x-1}$
Приравняем числитель к нулю:
$x^2 + 5x - 6 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = -6$ и $x_2 = 1$.
Проверим знаменатель. Знаменатель $x-1$ обращается в нуль при $x=1$.
Следовательно, $x=1$ не является нулем функции, так как не входит в область ее определения.
Корень $x = -6$ является нулем функции, так как при этом значении знаменатель $ -6 - 1 = -7 \ne 0$.
Ответ: $-6$.

9) $h(x) = \frac{x^2+5x-6}{2x^2+5x+3}$
Приравняем числитель к нулю:
$x^2 + 5x - 6 = 0$
Корни этого уравнения (из предыдущего задания) $x_1 = -6$ и $x_2 = 1$.
Найдем, при каких значениях $x$ знаменатель обращается в нуль:
$2x^2 + 5x + 3 = 0$
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$
$x = \frac{-5 \pm 1}{4} \implies x_3 = -\frac{3}{2}, x_4 = -1$.
Знаменатель не равен нулю при $x=-6$ и $x=1$.
Проверим $x_1=-6$: $2(-6)^2 + 5(-6) + 3 = 72 - 30 + 3 = 45 \ne 0$.
Проверим $x_2=1$: $2(1)^2 + 5(1) + 3 = 2 + 5 + 3 = 10 \ne 0$.
Оба значения, $-6$ и $1$, являются нулями функции.
Ответ: $-6; 1$.