Номер 1.24, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.24. Даны функции $f(x) = (2x + 1)\sqrt{4 - x}$ и $g(x) = \sqrt{4 - x}$, $x \in (-\infty; 4]$.

Найдите область определения функции:

1) $f(x) \cdot g(x);$

2) $\frac{f(x)}{g(x)};$

3) $\frac{g(x)}{f(x)}.$

4) В чем разница между функциями $f(x) \cdot g(x)$ и $h(x) = 4 + 7x - x^2$, $x \in (-\infty; +\infty)$? Обоснуйте ответ.

5) В чем разница между функциями $\frac{f(x)}{g(x)}$ и $\varphi(x)=2x+1, x \in (-\infty; +\infty)$? Обоснуйте ответ.

Даны функции $f(x) = (2x + 1)\sqrt{4 - x}$ и $g(x) = \sqrt{4 - x}$.
Для нахождения областей определения ($D$) сначала определим области определения исходных функций.
Для обеих функций подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $4 - x \ge 0$, что эквивалентно $x \le 4$.
Таким образом, область определения для обеих функций: $D(f) = (-\infty, 4]$ и $D(g) = (-\infty, 4]$.

1) f(x) · g(x)
Область определения произведения двух функций есть пересечение их областей определения: $D(f \cdot g) = D(f) \cap D(g)$.
Поскольку $D(f) = (-\infty, 4]$ и $D(g) = (-\infty, 4]$, их пересечение также будет $(-\infty, 4]$.
$D(f \cdot g) = (-\infty, 4] \cap (-\infty, 4] = (-\infty, 4]$.
Ответ: $x \in (-\infty, 4]$.

2) f(x)/g(x)
Область определения частного двух функций есть пересечение их областей определения, из которого исключены все значения аргумента, при которых знаменатель равен нулю.
$D(\frac{f}{g}) = \{x \in D(f) \cap D(g) | g(x) \neq 0 \}$.
Пересечение областей определения $D(f) \cap D(g) = (-\infty, 4]$.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель $g(x)$ равен нулю:
$g(x) = \sqrt{4 - x} = 0$
$4 - x = 0$
$x = 4$
Исключим это значение из множества $(-\infty, 4]$. Получаем интервал $(-\infty, 4)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 4)$.

3) g(x)/f(x)
Область определения частного $\frac{g(x)}{f(x)}$ есть пересечение областей определения $D(g)$ и $D(f)$, из которого исключены значения $x$, при которых знаменатель $f(x)$ обращается в ноль.
$D(\frac{g}{f}) = \{x \in D(g) \cap D(f) | f(x) \neq 0 \}$.
Пересечение областей определения $D(g) \cap D(f) = (-\infty, 4]$.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель $f(x)$ равен нулю:
$f(x) = (2x + 1)\sqrt{4 - x} = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$2x + 1 = 0$ или $\sqrt{4 - x} = 0$.
Из первого уравнения получаем $x = -0.5$.
Из второго уравнения получаем $x = 4$.
Оба этих значения входят в промежуток $(-\infty, 4]$, и их необходимо исключить.
Таким образом, область определения функции $\frac{g(x)}{f(x)}$ есть $(-\infty, -0.5) \cup (-0.5, 4)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -0.5) \cup (-0.5, 4)$.

4) В чем разница между функциями f(x) · g(x) и h(x) = 4 + 7x - x², x∈(-∞; +∞)? Обоснуйте ответ.
Найдем аналитическое выражение для функции $y(x) = f(x) \cdot g(x)$:
$y(x) = (2x + 1)\sqrt{4 - x} \cdot \sqrt{4 - x} = (2x + 1)(4 - x)$.
Раскроем скобки: $y(x) = 8x - 2x^2 + 4 - x = -2x^2 + 7x + 4$.
Область определения этой функции, как мы нашли в пункте 1, есть $D(y) = (-\infty, 4]$.
Вторая функция задана как $h(x) = 4 + 7x - x^2$ с областью определения $D(h) = (-\infty, +\infty)$.
Разница между этими функциями заключается в следующем:
1. Разные аналитические выражения: $y(x) = -2x^2 + 7x + 4$, а $h(x) = -x^2 + 7x + 4$. Коэффициенты при $x^2$ различны ($-2$ и $-1$).
2. Разные области определения: область определения $f(x) \cdot g(x)$ — это луч $(-\infty, 4]$, в то время как область определения $h(x)$ — вся числовая прямая $(-\infty, +\infty)$.
Две функции считаются равными, если у них совпадают области определения и на этой общей области определения их значения равны для любого аргумента. В данном случае функции различны.
Примечание: Вероятно, в условии задачи имеется опечатка, и функция $h(x)$ должна была быть $h(x) = 4 + 7x - 2x^2$. Даже в этом случае, несмотря на совпадение аналитических выражений, функции не были бы равны из-за различных областей определения.
Ответ: Функции отличаются как своим аналитическим видом ($f(x) \cdot g(x) = -2x^2 + 7x + 4$, а $h(x) = -x^2 + 7x + 4$), так и областями определения ($(-\infty, 4]$ для $f(x) \cdot g(x)$ и $(-\infty, +\infty)$ для $h(x)$).

5) В чем разница между функциями f(x)/g(x) и φ(x) = 2x + 1, x∈(-∞; +∞)? Обоснуйте ответ.
Найдем аналитическое выражение для функции $y(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$:
$y(x) = \frac{(2x + 1)\sqrt{4 - x}}{\sqrt{4 - x}}$.
При условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $\sqrt{4-x} \neq 0 \implies x \neq 4$, мы можем сократить дробь:
$y(x) = 2x + 1$.
Область определения этой функции, как мы нашли в пункте 2, есть $D(y) = (-\infty, 4)$.
Вторая функция задана как $\phi(x) = 2x + 1$ с областью определения $D(\phi) = (-\infty, +\infty)$.
Сравним эти две функции. Аналитические выражения у них совпадают ($2x+1$), но области определения различны. У функции $\frac{f(x)}{g(x)}$ область определения $(-\infty, 4)$, а у функции $\phi(x)$ — $(-\infty, +\infty)$.
Две функции считаются равными только в том случае, если у них совпадают области определения и правила, по которым вычисляются их значения. Поскольку области определения функций не совпадают, эти функции не равны. Функция $\frac{f(x)}{g(x)}$ является сужением функции $\phi(x)$ на интервал $(-\infty, 4)$.
Ответ: Функции имеют одинаковое аналитическое выражение ($2x+1$), но разные области определения: $(-\infty, 4)$ для $\frac{f(x)}{g(x)}$ и $(-\infty, +\infty)$ для $\phi(x)$. Следовательно, функции не являются равными.