Творческая работа, страница 27 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Творческая работа

Квадраты со сторонами 8, 6, 4 и 2 парами построены так, как показано на рисунке 1.27. Найдите координаты центров этих квадратов. Покажите, что эти центры лежат на параболе, и напишите уравнение этой параболы.

Каковы координаты центров пар квадратов, если по указанному принципу продолжить построение этих квадратов ниже оси $Ox$.

Рис. 1.27

Найдите координаты центров этих квадратов. Покажите, что эти центры лежат на параболе, и напишите уравнение этой параболы.

Согласно рисунку, конструкция состоит из пар квадратов, расположенных симметрично относительно оси $Oy$. Найдем координаты центров для каждой пары квадратов.

1. Пара квадратов со стороной 8: Эти квадраты образуют прямоугольник с основанием на оси $Ox$ от $-8$ до $8$ и высотой $8$. Левый квадрат занимает область от $x=-8$ до $x=0$, а правый — от $x=0$ до $x=8$. Высота обоих от $y=0$ до $y=8$.
Центр левого квадрата: $x = (-8+0)/2 = -4$, $y = (0+8)/2 = 4$. Координаты: $(-4, 4)$.
Центр правого квадрата: $x = (0+8)/2 = 4$, $y = (0+8)/2 = 4$. Координаты: $(4, 4)$.

2. Пара квадратов со стороной 6: Эти квадраты лежат на предыдущем слое, то есть их основание находится на высоте $y=8$. Высота этого слоя равна $6$, значит, верхняя граница на $y=8+6=14$. Ширина от $x=-6$ до $x=6$.
Центр левого квадрата: $x = (-6+0)/2 = -3$, $y = (8+14)/2 = 11$. Координаты: $(-3, 11)$.
Центр правого квадрата: $x = (0+6)/2 = 3$, $y = (8+14)/2 = 11$. Координаты: $(3, 11)$.

3. Пара квадратов со стороной 4: Основание на $y=14$, высота $4$, верхняя граница на $y=14+4=18$. Ширина от $x=-4$ до $x=4$.
Центр левого квадрата: $x = (-4+0)/2 = -2$, $y = (14+18)/2 = 16$. Координаты: $(-2, 16)$.
Центр правого квадрата: $x = (0+4)/2 = 2$, $y = (14+18)/2 = 16$. Координаты: $(2, 16)$.

4. Пара квадратов со стороной 2: Основание на $y=18$, высота $2$, верхняя граница на $y=18+2=20$. Ширина от $x=-2$ до $x=2$.
Центр левого квадрата: $x = (-2+0)/2 = -1$, $y = (18+20)/2 = 19$. Координаты: $(-1, 19)$.
Центр правого квадрата: $x = (0+2)/2 = 1$, $y = (18+20)/2 = 19$. Координаты: $(1, 19)$.

Итак, мы имеем следующие координаты центров: $(\pm 4, 4)$, $(\pm 3, 11)$, $(\pm 2, 16)$, $(\pm 1, 19)$.

Теперь докажем, что эти точки лежат на одной параболе. Так как точки симметричны относительно оси $Oy$, уравнение параболы должно иметь вид $y = ax^2 + c$. Подставим координаты двух любых пар точек, чтобы найти коэффициенты $a$ и $c$.

Возьмем точки $(1, 19)$ и $(2, 16)$:
Для $(1, 19)$: $19 = a(1)^2 + c \implies 19 = a + c$.
Для $(2, 16)$: $16 = a(2)^2 + c \implies 16 = 4a + c$.

Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} a + c = 19 \\ 4a + c = 16 \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго: $(4a+c) - (a+c) = 16-19 \implies 3a = -3 \implies a = -1$.
Подставим $a=-1$ в первое уравнение: $-1 + c = 19 \implies c = 20$.

Уравнение параболы: $y = -x^2 + 20$.

Проверим, лежат ли на этой параболе остальные точки:
Для точки $(3, 11)$: $y = -(3)^2 + 20 = -9 + 20 = 11$. Верно.
Для точки $(4, 4)$: $y = -(4)^2 + 20 = -16 + 20 = 4$. Верно.
Поскольку $(-x)^2 = x^2$, симметричные точки с отрицательными абсциссами также лежат на этой параболе. Таким образом, все центры лежат на параболе $y = -x^2 + 20$.

Ответ: Координаты центров квадратов: $(\pm 4, 4)$, $(\pm 3, 11)$, $(\pm 2, 16)$, $(\pm 1, 19)$. Эти точки лежат на параболе, уравнение которой $y = -x^2 + 20$.

Каковы координаты центров пар квадратов, если по указанному принципу продолжить построение этих квадратов ниже оси Ox.

Принцип построения заключается в том, что стороны квадратов образуют арифметическую прогрессию с разностью 2, уменьшаясь при движении вверх. Продолжение построения ниже оси $Ox$ означает добавление пар квадратов с бо́льшими сторонами. После квадратов со стороной 8 следуют квадраты со стороной 10, затем 12 и так далее.

1. Пара квадратов со стороной 10: Эти квадраты будут располагаться непосредственно под осью $Ox$, то есть их верхняя сторона будет лежать на линии $y=0$. Их высота равна 10, поэтому они будут простираться от $y=0$ до $y=-10$. Ширина от $x=-10$ до $x=10$.
Центры будут иметь координаты: $x = \pm 10/2 = \pm 5$ и $y = (0-10)/2 = -5$.
Координаты центров: $(-5, -5)$ и $(5, -5)$.

2. Пара квадратов со стороной 12: Эти квадраты будут располагаться под предыдущим слоем, т.е. их верхняя сторона будет на $y=-10$. Их высота равна 12, поэтому они будут простираться от $y=-10$ до $y=-22$. Ширина от $x=-12$ до $x=12$.
Центры будут иметь координаты: $x = \pm 12/2 = \pm 6$ и $y = (-10-22)/2 = -16$.
Координаты центров: $(-6, -16)$ и $(6, -16)$.

Проверим, лежат ли эти новые точки на найденной ранее параболе $y = -x^2 + 20$:
Для $(\pm 5, -5)$: $y = -(\pm 5)^2 + 20 = -25 + 20 = -5$. Верно.
Для $(\pm 6, -16)$: $y = -(\pm 6)^2 + 20 = -36 + 20 = -16$. Верно.

В общем виде, для пары квадратов со стороной $s = 2n$ ($n=1, 2, 3, \ldots$), абсциссы центров равны $x=\pm n$. Ординаты центров подчиняются уравнению параболы $y = -n^2 + 20$. Для построения ниже оси $Ox$ мы берем $n=5, 6, 7, \ldots$.

Ответ: Координаты центров следующих пар квадратов, построенных ниже оси $Ox$, будут: для квадратов со стороной 10 — $(\pm 5, -5)$, для квадратов со стороной 12 — $(\pm 6, -16)$, и в общем случае для квадратов со стороной $2n$ ($n \ge 5$) — $(\pm n, 20-n^2)$.