Страница 27 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какие точки называются нулями функции?

2. Какие точки называются точками разрыва функции? Объясните понятие непрерывности функции.

3. Как определяют промежутки знакопостоянства функции?

4. Дайте определение возрастающей и убывающей функций.

5. Какие точки называются точками максимума (минимума) функции?

6. Как определяют наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке?

7. Какие функции называются четными (нечетными) функциями?

8. Какую функцию называют функцией общего вида (ФОВ)?

1. Какие точки называются нулями функции? Нулями функции $y = f(x)$ называются такие значения аргумента $x$ из области определения функции, при которых значение функции равно нулю, то есть $f(x) = 0$. Графически, это абсциссы точек пересечения графика функции с осью $Ox$. Ответ:

2. Какие точки называются точками разрыва функции? Объясните понятие непрерывности функции. Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0$, если она определена в этой точке и ее окрестности, и предел функции в этой точке равен ее значению в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Геометрически это означает, что график функции в этой точке является сплошной линией. Точкой разрыва функции называется точка $x_0$, в которой нарушается хотя бы одно из условий непрерывности. Например, функция не определена в точке $x_0$, или не существует предел $\lim_{x \to x_0} f(x)$, или этот предел не равен $f(x_0)$. Ответ:

3. Как определяют промежутки знакопостоянства функции? Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция сохраняет свой знак (то есть $f(x) > 0$ или $f(x) < 0$). Для их определения находят область определения функции, ее нули (точки, где $f(x) = 0$) и точки разрыва. Эти точки наносят на числовую ось, разбивая ее на интервалы. Внутри каждого такого интервала знак функции постоянен. Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение функции в любой одной точке из этого интервала. Ответ:

4. Дайте определение возрастающей и убывающей функций. Функция $y = f(x)$ называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$ (большему значению аргумента соответствует большее значение функции). Функция называется убывающей на промежутке, если для $x_2 > x_1$ выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$ (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции). Ответ:

5. Какие точки называются точками максимума (минимума) функции? Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность точки $x_0$, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство $f(x) \le f(x_0)$. Точка $x_0$ называется точкой минимума, если в некоторой ее окрестности для всех $x$ выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$. Точки максимума и минимума объединяются под общим названием точки экстремума. Ответ:

6. Как определяют наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке? Для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на замкнутом промежутке $[a, b]$ следует: 1) найти критические точки функции (где производная равна нулю или не существует) внутри этого промежутка; 2) вычислить значения функции в этих критических точках; 3) вычислить значения функции на концах промежутка, то есть $f(a)$ и $f(b)$; 4) выбрать самое большое и самое маленькое из всех полученных значений. Это и будут, соответственно, наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке. Ответ:

7. Какие функции называются четными (нечетными) функциями? Функция $f(x)$ называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат. Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Ответ:

8. Какую функцию называют функцией общего вида (ФОВ)? Функцией общего вида (ФОВ) называют функцию, которая не является ни четной, ни нечетной. Это означает, что для нее не выполняется ни условие четности $f(-x) = f(x)$, ни условие нечетности $f(-x) = -f(x)$, либо ее область определения не симметрична относительно нуля. Большинство функций являются функциями общего вида, например, $f(x) = x^3 - x^2 + 5$. Ответ:

Творческая работа

Квадраты со сторонами 8, 6, 4 и 2 парами построены так, как показано на рисунке 1.27. Найдите координаты центров этих квадратов. Покажите, что эти центры лежат на параболе, и напишите уравнение этой параболы.

Каковы координаты центров пар квадратов, если по указанному принципу продолжить построение этих квадратов ниже оси $Ox$.

Рис. 1.27

Найдите координаты центров этих квадратов. Покажите, что эти центры лежат на параболе, и напишите уравнение этой параболы.

Согласно рисунку, конструкция состоит из пар квадратов, расположенных симметрично относительно оси $Oy$. Найдем координаты центров для каждой пары квадратов.

1. Пара квадратов со стороной 8: Эти квадраты образуют прямоугольник с основанием на оси $Ox$ от $-8$ до $8$ и высотой $8$. Левый квадрат занимает область от $x=-8$ до $x=0$, а правый — от $x=0$ до $x=8$. Высота обоих от $y=0$ до $y=8$.
Центр левого квадрата: $x = (-8+0)/2 = -4$, $y = (0+8)/2 = 4$. Координаты: $(-4, 4)$.
Центр правого квадрата: $x = (0+8)/2 = 4$, $y = (0+8)/2 = 4$. Координаты: $(4, 4)$.

2. Пара квадратов со стороной 6: Эти квадраты лежат на предыдущем слое, то есть их основание находится на высоте $y=8$. Высота этого слоя равна $6$, значит, верхняя граница на $y=8+6=14$. Ширина от $x=-6$ до $x=6$.
Центр левого квадрата: $x = (-6+0)/2 = -3$, $y = (8+14)/2 = 11$. Координаты: $(-3, 11)$.
Центр правого квадрата: $x = (0+6)/2 = 3$, $y = (8+14)/2 = 11$. Координаты: $(3, 11)$.

3. Пара квадратов со стороной 4: Основание на $y=14$, высота $4$, верхняя граница на $y=14+4=18$. Ширина от $x=-4$ до $x=4$.
Центр левого квадрата: $x = (-4+0)/2 = -2$, $y = (14+18)/2 = 16$. Координаты: $(-2, 16)$.
Центр правого квадрата: $x = (0+4)/2 = 2$, $y = (14+18)/2 = 16$. Координаты: $(2, 16)$.

4. Пара квадратов со стороной 2: Основание на $y=18$, высота $2$, верхняя граница на $y=18+2=20$. Ширина от $x=-2$ до $x=2$.
Центр левого квадрата: $x = (-2+0)/2 = -1$, $y = (18+20)/2 = 19$. Координаты: $(-1, 19)$.
Центр правого квадрата: $x = (0+2)/2 = 1$, $y = (18+20)/2 = 19$. Координаты: $(1, 19)$.

Итак, мы имеем следующие координаты центров: $(\pm 4, 4)$, $(\pm 3, 11)$, $(\pm 2, 16)$, $(\pm 1, 19)$.

Теперь докажем, что эти точки лежат на одной параболе. Так как точки симметричны относительно оси $Oy$, уравнение параболы должно иметь вид $y = ax^2 + c$. Подставим координаты двух любых пар точек, чтобы найти коэффициенты $a$ и $c$.

Возьмем точки $(1, 19)$ и $(2, 16)$:
Для $(1, 19)$: $19 = a(1)^2 + c \implies 19 = a + c$.
Для $(2, 16)$: $16 = a(2)^2 + c \implies 16 = 4a + c$.

Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} a + c = 19 \\ 4a + c = 16 \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго: $(4a+c) - (a+c) = 16-19 \implies 3a = -3 \implies a = -1$.
Подставим $a=-1$ в первое уравнение: $-1 + c = 19 \implies c = 20$.

Уравнение параболы: $y = -x^2 + 20$.

Проверим, лежат ли на этой параболе остальные точки:
Для точки $(3, 11)$: $y = -(3)^2 + 20 = -9 + 20 = 11$. Верно.
Для точки $(4, 4)$: $y = -(4)^2 + 20 = -16 + 20 = 4$. Верно.
Поскольку $(-x)^2 = x^2$, симметричные точки с отрицательными абсциссами также лежат на этой параболе. Таким образом, все центры лежат на параболе $y = -x^2 + 20$.

Ответ: Координаты центров квадратов: $(\pm 4, 4)$, $(\pm 3, 11)$, $(\pm 2, 16)$, $(\pm 1, 19)$. Эти точки лежат на параболе, уравнение которой $y = -x^2 + 20$.

Каковы координаты центров пар квадратов, если по указанному принципу продолжить построение этих квадратов ниже оси Ox.

Принцип построения заключается в том, что стороны квадратов образуют арифметическую прогрессию с разностью 2, уменьшаясь при движении вверх. Продолжение построения ниже оси $Ox$ означает добавление пар квадратов с бо́льшими сторонами. После квадратов со стороной 8 следуют квадраты со стороной 10, затем 12 и так далее.

1. Пара квадратов со стороной 10: Эти квадраты будут располагаться непосредственно под осью $Ox$, то есть их верхняя сторона будет лежать на линии $y=0$. Их высота равна 10, поэтому они будут простираться от $y=0$ до $y=-10$. Ширина от $x=-10$ до $x=10$.
Центры будут иметь координаты: $x = \pm 10/2 = \pm 5$ и $y = (0-10)/2 = -5$.
Координаты центров: $(-5, -5)$ и $(5, -5)$.

2. Пара квадратов со стороной 12: Эти квадраты будут располагаться под предыдущим слоем, т.е. их верхняя сторона будет на $y=-10$. Их высота равна 12, поэтому они будут простираться от $y=-10$ до $y=-22$. Ширина от $x=-12$ до $x=12$.
Центры будут иметь координаты: $x = \pm 12/2 = \pm 6$ и $y = (-10-22)/2 = -16$.
Координаты центров: $(-6, -16)$ и $(6, -16)$.

Проверим, лежат ли эти новые точки на найденной ранее параболе $y = -x^2 + 20$:
Для $(\pm 5, -5)$: $y = -(\pm 5)^2 + 20 = -25 + 20 = -5$. Верно.
Для $(\pm 6, -16)$: $y = -(\pm 6)^2 + 20 = -36 + 20 = -16$. Верно.

В общем виде, для пары квадратов со стороной $s = 2n$ ($n=1, 2, 3, \ldots$), абсциссы центров равны $x=\pm n$. Ординаты центров подчиняются уравнению параболы $y = -n^2 + 20$. Для построения ниже оси $Ox$ мы берем $n=5, 6, 7, \ldots$.

Ответ: Координаты центров следующих пар квадратов, построенных ниже оси $Ox$, будут: для квадратов со стороной 10 — $(\pm 5, -5)$, для квадратов со стороной 12 — $(\pm 6, -16)$, и в общем случае для квадратов со стороной $2n$ ($n \ge 5$) — $(\pm n, 20-n^2)$.