Номер 1.33, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.33. Какие известные вам функции на всей числовой оси:

1) не имеют экстремумов;

2) имеют только один экстремум?

1) не имеют экстремумов

Функции, не имеющие экстремумов на всей числовой оси, — это, как правило, строго монотонные функции, то есть функции, которые на всей своей области определения либо только возрастают, либо только убывают. Экстремум (локальный максимум или минимум) — это точка, в которой производная функции меняет знак. Если производная сохраняет знак (или вообще не равна нулю), экстремумов нет.

Приведем несколько классов таких функций:

а) Линейная функция вида $y = kx + b$ при $k \neq 0$.
Ее производная $y' = k$ является константой и никогда не равна нулю. Если $k > 0$, функция строго возрастает на всей числовой оси. Если $k < 0$, функция строго убывает. В обоих случаях экстремумов нет. Например, $y = 2x - 1$ или $y = -x$.

б) Кубическая функция вида $y = ax^3 + bx + c$, у которой производная не меняет знак.
Например, функция $y = x^3$. Ее производная $y' = 3x^2$. Производная равна нулю в точке $x=0$, но не меняет свой знак при переходе через эту точку (она неотрицательна: $3x^2 \ge 0$). Точка $x=0$ является точкой перегиба, а не экстремумом. Функция является неубывающей (и строго возрастающей везде, кроме $x=0$).
Другой пример — $y = x^3 + x$. Ее производная $y' = 3x^2 + 1$ всегда положительна, поэтому функция строго возрастает и не имеет экстремумов.

в) Показательная (экспоненциальная) функция вида $y = a^x$, где $a > 0$ и $a \neq 1$.
Производная $y' = a^x \ln a$. Так как $a^x > 0$ для любого $x$, знак производной постоянен и зависит от знака $\ln a$. Если $a > 1$, то $\ln a > 0$, и функция строго возрастает. Если $0 < a < 1$, то $\ln a < 0$, и функция строго убывает. В обоих случаях производная не равна нулю и не меняет знак, следовательно, экстремумов нет. Например, $y = e^x$ или $y = (0.5)^x$.

г) Функция арктангенса $y = \arctan(x)$.
Эта функция определена на всей числовой оси. Ее производная $y' = \frac{1}{1+x^2}$ всегда положительна. Следовательно, функция строго возрастает и не имеет экстремумов.

Ответ: Линейные функции $y = kx + b$ (при $k \neq 0$), некоторые кубические функции (например, $y = x^3$, $y = x^3+x$), показательные функции $y = a^x$ (при $a>0, a\neq1$), функция арктангенса $y = \arctan(x)$.

2) имеют только один экстремум

Функции, имеющие только один экстремум на всей числовой оси, — это функции, у которых есть ровно одна точка локального максимума или минимума. Часто этот локальный экстремум является также и глобальным (наибольшим или наименьшим значением функции).

Приведем несколько примеров таких функций:

а) Квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$ при $a \neq 0$.
Графиком является парабола, вершина которой и есть единственная точка экстремума. Найдем производную: $y' = 2ax + b$. Приравняв ее к нулю, получим единственную критическую точку $x = -\frac{b}{2a}$. Если $a > 0$, это точка минимума (ветви параболы направлены вверх). Если $a < 0$, это точка максимума (ветви вниз). Например, функция $y = x^2 - 4x + 5$ имеет один минимум в точке $x=2$.

б) Степенные функции с четным показателем вида $y = x^{2n}$ для натурального $n$.
Например, функция $y = x^4$. Ее производная $y' = 4x^3$. Производная равна нулю только в точке $x=0$. Слева от нуля ($x<0$) производная отрицательна (функция убывает), а справа ($x>0$) — положительна (функция возрастает). Следовательно, в точке $x=0$ находится единственный экстремум — точка минимума.

в) Функция модуля $y = |x|$.
Эта функция не является гладкой в точке $x=0$, ее производная в этой точке не существует. Однако, исходя из определения, точка $x=0$ является точкой минимума, так как $y(0)=0$ и $y(x) > 0$ для всех $x \neq 0$. Это единственный экстремум функции. Обобщенный вид — $y = a|x-h|+k$ при $a\neq 0$.

г) Другие типы функций.
Например, функция $y = xe^x$. Ее производная $y' = e^x + xe^x = e^x(1+x)$. Производная равна нулю при $x=-1$. При $x < -1$ производная отрицательна, а при $x > -1$ — положительна. Таким образом, функция имеет единственный экстремум (минимум) в точке $x=-1$.
Другой пример: $y=e^{-x^2}$ (функция Гаусса). Ее производная $y' = e^{-x^2}(-2x)$. Она равна нулю в точке $x=0$. При $x<0$ производная положительна (функция возрастает), при $x>0$ отрицательна (функция убывает). Значит, в $x=0$ находится единственный экстремум (максимум).

Ответ: Квадратичные функции $y = ax^2 + bx + c$ (при $a \neq 0$), степенные функции с четным показателем (например, $y=x^2, y=x^6$), функция модуля $y = |x|$, а также другие функции, например, $y = xe^x$ или $y=e^{-x^2}$.