Номер 1.39, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.39. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $g(x) = \frac{1}{x}$;

2) $f(x) = -\frac{1}{x}$;

3) $f(x) = \sqrt{x}$;

4) $h(x) = -\sqrt{x}$;

5) $g(x) = \sqrt{|x|}$;

6) $h(x) = \sqrt[3]{x}$;

1) $g(x) = \frac{1}{x}$;

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции исследуем знак ее производной.

Область определения функции $D(g) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Найдем производную функции: $g'(x) = (\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Определим знак производной. Поскольку $x^2 > 0$ для любого $x$ из области определения, то производная $g'(x) = -\frac{1}{x^2}$ всегда отрицательна ($g'(x) < 0$) на всей области определения.

Если производная функции отрицательна на некотором промежутке, то функция на этом промежутке убывает.

Следовательно, функция $g(x)$ убывает на промежутке $(-\infty, 0)$ и на промежутке $(0, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$; промежутков возрастания нет.

2) $f(x) = -\frac{1}{x}$;

Область определения функции $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (-\frac{1}{x})' = -(\frac{1}{x})' = -(-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{x^2}$.

Определим знак производной. Так как $x^2 > 0$ для любого $x$ из области определения, то $f'(x) = \frac{1}{x^2}$ всегда больше нуля ($f'(x) > 0$) на всей области определения.

Если производная функции положительна на некотором промежутке, то функция на этом промежутке возрастает.

Следовательно, функция $f(x)$ возрастает на промежутке $(-\infty, 0)$ и на промежутке $(0, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$; промежутков убывания нет.

3) $f(x) = \sqrt{x}$;

Область определения функции $D(f) = [0, +\infty)$, так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Найдем производную функции: $f'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная определена для $x > 0$. На этом интервале $\sqrt{x} > 0$, следовательно, производная $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ всегда положительна ($f'(x) > 0$).

Так как функция непрерывна в точке $x=0$ и возрастает на $(0, +\infty)$, она возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$; промежутков убывания нет.

4) $h(x) = -\sqrt{x}$;

Область определения функции $D(h) = [0, +\infty)$.

Найдем производную функции: $h'(x) = (-\sqrt{x})' = -(\sqrt{x})' = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная определена для $x > 0$. На этом интервале $\sqrt{x} > 0$, следовательно, производная $h'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$ всегда отрицательна ($h'(x) < 0$).

Так как функция непрерывна в точке $x=0$ и убывает на $(0, +\infty)$, она убывает на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $[0, +\infty)$; промежутков возрастания нет.

5) $g(x) = \sqrt{|x|}$;

Область определения функции $D(g) = (-\infty, +\infty)$, так как $|x| \ge 0$ для всех действительных $x$.

Раскроем модуль, представив функцию в кусочно-заданном виде: $g(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \\ \sqrt{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Рассмотрим промежуток $x > 0$. Здесь $g(x) = \sqrt{x}$. Как было показано в пункте 3), эта функция возрастает. Таким образом, $g(x)$ возрастает на $[0, +\infty)$.

Рассмотрим промежуток $x < 0$. Здесь $g(x) = \sqrt{-x}$. Найдем производную: $g'(x) = (\sqrt{-x})' = \frac{1}{2\sqrt{-x}} \cdot (-x)' = -\frac{1}{2\sqrt{-x}}$. Для $x < 0$, выражение $-x > 0$, поэтому $\sqrt{-x} > 0$, и производная $g'(x)$ всегда отрицательна. Следовательно, на промежутке $(-\infty, 0)$ функция убывает. Так как функция непрерывна в точке $x=0$, она убывает на $(-\infty, 0]$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

6) $h(x) = \sqrt[3]{x}$;

Область определения функции $D(h) = (-\infty, +\infty)$.

Найдем производную функции: $h'(x) = (\sqrt[3]{x})' = (x^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Производная не определена в точке $x=0$. Для всех $x \neq 0$, выражение $x^2 > 0$, следовательно, $\sqrt[3]{x^2} > 0$. Таким образом, производная $h'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ всегда положительна ($h'(x) > 0$) для всех $x \neq 0$.

Так как производная положительна на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$, а сама функция $h(x)$ непрерывна в точке $x=0$, то функция возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, +\infty)$; промежутков убывания нет.