Номер 1.32, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.32. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = (x - 2)^2;$

2) $g(x) = -(x - 3)^2;$

3) $u(x) = (x - 1)^2 - 3;$

4) $h(x) = 3 - (x - 3)^2;$

5) $r(x) = x^2 - 4x + 5;$

6) $h(x) = -2x^2 + 6x - 7.$

1) Функция $f(x) = (x - 2)^2$ является квадратичной, её график — парабола. Уравнение представлено в виде $f(x) = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины.
В данном случае коэффициент $a=1$, а абсцисса вершины $h=2$.
Поскольку $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы, находящаяся в точке $x=2$, является точкой минимума.
Следовательно, функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает справа от неё.
Промежуток убывания: $(-\infty, 2]$.
Промежуток возрастания: $[2, +\infty)$.
Ответ: промежуток возрастания: $[2, +\infty)$; промежуток убывания: $(-\infty, 2]$.

2) Функция $g(x) = -(x - 3)^2$ является квадратичной, её график — парабола. Уравнение представлено в виде $g(x) = a(x - h)^2 + k$.
В данном случае коэффициент $a=-1$, а абсцисса вершины $h=3$.
Поскольку $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы, находящаяся в точке $x=3$, является точкой максимума.
Следовательно, функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает справа от неё.
Промежуток возрастания: $(-\infty, 3]$.
Промежуток убывания: $[3, +\infty)$.
Ответ: промежуток возрастания: $(-\infty, 3]$; промежуток убывания: $[3, +\infty)$.

3) Функция $u(x) = (x - 1)^2 - 3$ является квадратичной, её график — парабола. Уравнение представлено в виде $u(x) = a(x - h)^2 + k$.
В данном случае коэффициент $a=1$, а абсцисса вершины $h=1$.
Поскольку $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы, находящаяся в точке $x=1$, является точкой минимума.
Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.
Ответ: промежуток возрастания: $[1, +\infty)$; промежуток убывания: $(-\infty, 1]$.

4) Функция $h(x) = 3 - (x - 3)^2$ является квадратичной. Перепишем её в стандартном виде $h(x) = -(x - 3)^2 + 3$. Её график — парабола.
В данном случае коэффициент $a=-1$, а абсцисса вершины $h=3$.
Поскольку $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы, находящаяся в точке $x=3$, является точкой максимума.
Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 3]$ и убывает на промежутке $[3, +\infty)$.
Ответ: промежуток возрастания: $(-\infty, 3]$; промежуток убывания: $[3, +\infty)$.

5) Функция $r(x) = x^2 - 4x + 5$ является квадратичной, её график — парабола. Функция задана в виде $r(x) = ax^2 + bx + c$.
Здесь $a = 1$, $b = -4$. Поскольку $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Найдём абсциссу вершины параболы по формуле $x_v = -b/(2a)$:
$x_v = -(-4) / (2 \cdot 1) = 2$.
Вершина в точке $x=2$ является точкой минимума. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на промежутке $[2, +\infty)$.
Ответ: промежуток возрастания: $[2, +\infty)$; промежуток убывания: $(-\infty, 2]$.

6) Функция $h(x) = -2x^2 + 6x - 7$ является квадратичной, её график — парабола. Функция задана в виде $h(x) = ax^2 + bx + c$.
Здесь $a = -2$, $b = 6$. Поскольку $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Найдём абсциссу вершины параболы по формуле $x_v = -b/(2a)$:
$x_v = -6 / (2 \cdot (-2)) = -6 / (-4) = 3/2 = 1.5$.
Вершина в точке $x=1.5$ является точкой максимума. Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1.5]$ и убывает на промежутке $[1.5, +\infty)$.
Ответ: промежуток возрастания: $(-\infty, 1.5]$; промежуток убывания: $[1.5, +\infty)$.