Номер 1.55, страница 31 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.55. Сколько корней может иметь уравнение $f(x) = 0$, если известно, что функция $f(x)$ возрастает (убывает) на всей числовой прямой и ее график не имеет точек разрыва? Может ли это уравнение не иметь корней?

Рассмотрим данный вопрос. Уравнение $f(x)=0$ определяет точки пересечения графика функции $y=f(x)$ с осью абсцисс (осью Ox).

По условию, функция $f(x)$ является строго монотонной (возрастает или убывает) на всей числовой прямой, а также непрерывной.

Давайте докажем, что такое уравнение может иметь не более одного корня. Предположим противное: пусть существуют два различных корня $x_1$ и $x_2$. Пусть для определенности $x_1 < x_2$. Так как $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения, то $f(x_1) = 0$ и $f(x_2) = 0$.

• Если функция $f(x)$ возрастает, то из $x_1 < x_2$ следует, что $f(x_1) < f(x_2)$. Подставив значения, получаем $0 < 0$, что является противоречием.
• Если функция $f(x)$ убывает, то из $x_1 < x_2$ следует, что $f(x_1) > f(x_2)$. Подставив значения, получаем $0 > 0$, что также является противоречием.

Следовательно, наше предположение о существовании двух различных корней неверно. Таким образом, уравнение может иметь не более одного корня. Графически это означает, что непрерывный монотонный график может пересечь ось Ox только в одной точке.

Пример графика монотонной функции, имеющей один корень:

Теперь ответим на второй вопрос: может ли это уравнение не иметь корней?

Да, может. Это произойдет в том случае, если множество значений (область значений) функции $f(x)$ не содержит числа 0. Поскольку функция непрерывна и монотонна на всей числовой прямой, это означает, что ее график полностью расположен либо выше оси Ox (и тогда $f(x) > 0$ для всех $x$), либо ниже оси Ox (и тогда $f(x) < 0$ для всех $x$).

Приведем примеры:

• Функция $f(x) = e^x$ является возрастающей и непрерывной на всей числовой прямой. Ее значения всегда положительны ($e^x > 0$), поэтому уравнение $e^x = 0$ не имеет корней.
• Функция $f(x) = \arctan(x) - 2$ является возрастающей и непрерывной. Ее область значений — интервал $(-\frac{\pi}{2} - 2, \frac{\pi}{2} - 2)$, который примерно равен $(-3.57, -0.43)$. Все значения функции отрицательны, поэтому уравнение $\arctan(x) - 2 = 0$ не имеет корней.

Пример графика монотонной функции, не имеющей корней:

Ответ: Уравнение $f(x)=0$ для функции, которая возрастает (убывает) и непрерывна на всей числовой прямой, может иметь один корень или не иметь корней совсем.