Номер 1.58, страница 32 - гдз по алгебре 10 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.58*. $y = \begin{cases} 3, & \text{если } x \le -4, \\ |x^2 - 4|x| + 3|, & \text{если } -4 \le x \le 4, \\ 3 - (x - 4)^2, & \text{если } x > 4. \end{cases}$

Для построения графика функции, заданной кусочно, рассмотрим каждый ее участок отдельно.

1. Построение на промежутке $x \le -4$

На этом промежутке функция задается формулой $y = 3$. Это постоянная функция, ее график — горизонтальная прямая линия, проходящая на уровне $y=3$. Поскольку условие $x \le -4$, мы строим только ту часть прямой, которая находится левее точки $x=-4$, включая саму точку. Таким образом, это луч, выходящий из точки с координатами $(-4, 3)$ и идущий влево параллельно оси абсцисс.

Ответ: На промежутке $(-\infty, -4]$ график функции — это луч, выходящий из точки $(-4, 3)$ и идущий влево параллельно оси Ox.

2. Построение на промежутке $-4 \le x \le 4$

На этом отрезке функция имеет вид $y = |x^2 - 4|x| + 3|$.

Для начала исследуем функцию на четность. Найдем $y(-x)$:$y(-x) = |(-x)^2 - 4|-x| + 3| = |x^2 - 4|x| + 3| = y(x)$.Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Поэтому достаточно построить график для $x \in [0, 4]$, а затем симметрично отразить его относительно оси Oy, чтобы получить график на отрезке $[-4, 0]$.

Рассмотрим $x \in [0, 4]$. На этом интервале $|x| = x$, и функция принимает вид $y = |x^2 - 4x + 3|$.Для построения этого графика сначала построим параболу $z = x^2 - 4x + 3$. Это парабола с ветвями, направленными вверх.Найдем ее нули, решив уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.Вершина параболы находится в точке $x_v = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = 2$. Значение функции в вершине: $z(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.Итак, парабола $z = x^2 - 4x + 3$ пересекает ось Ox в точках $x=1$ и $x=3$, и ее вершина находится в точке $(2, -1)$.

Теперь учтем модуль: $y = |x^2 - 4x + 3|$. Часть параболы, где $z \ge 0$ (то есть при $x \in [0, 1] \cup [3, 4]$), остается без изменений. Часть параболы, где $z < 0$ (то есть при $x \in (1, 3)$), симметрично отражается относительно оси Ox.

Найдем координаты ключевых точек на отрезке $[0, 4]$:

• $y(0) = |0^2 - 4(0) + 3| = 3$. Точка $(0, 3)$.
• $y(1) = |1^2 - 4(1) + 3| = |0| = 0$. Точка $(1, 0)$.
• $y(2) = |2^2 - 4(2) + 3| = |-1| = 1$. Точка $(2, 1)$, вершина отраженной части.
• $y(3) = |3^2 - 4(3) + 3| = |0| = 0$. Точка $(3, 0)$.
• $y(4) = |4^2 - 4(4) + 3| = |3| = 3$. Точка $(4, 3)$.

Используя симметрию относительно оси Oy, получаем ключевые точки для отрезка $[-4, 0]$: $(-4, 3)$, $(-3, 0)$, $(-2, 1)$, $(-1, 0)$, $(0, 3)$.Заметим, что в граничных точках $x=-4$ и $x=4$ значение функции равно 3, что совпадает со значением на соседних участках.

Ответ: На промежутке $[-4, 4]$ график функции симметричен относительно оси Oy и состоит из участков парабол, соединяющих точки $(-4, 3)$, $(-3, 0)$, $(-2, 1)$, $(-1, 0)$, $(0, 3)$, $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(3, 0)$ и $(4, 3)$.

3. Построение на промежутке $x > 4$

На этом промежутке функция задается формулой $y = 3 - (x-4)^2$.Это уравнение параболы вида $y = -x^2$, смещенной на 4 единицы вправо и на 3 единицы вверх. Ее вершина находится в точке $(4, 3)$, а ветви направлены вниз.Так как $x > 4$, мы строим правую ветвь этой параболы, начиная от ее вершины (не включая саму вершину).Предел функции при $x \to 4^+$ равен $3 - (4-4)^2 = 3$, что совпадает со значением функции в точке $x=4$ на предыдущем участке. Следовательно, функция непрерывна в точке $x=4$.

Ответ: На промежутке $(4, +\infty)$ график функции — это ветвь параболы с вершиной в точке $(4, 3)$, направленная вниз.

Общий график функции

Объединяя все три части, получаем итоговый график функции.

Из графика видно, что функция принимает все значения от 3 и меньше. Максимальное значение функции равно 3. Таким образом, область значений функции $E(y) = (-\infty, 3]$.

Ответ: График функции построен. Область значений функции $E(y) = (-\infty, 3]$.